Es posible definir la suma y/o multiplicación en el conjunto de
a) números naturales (incluyendo $0$: $0,1,2,3,...$)
b) enteros $(..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)$
de tal manera que se conviertan en los campos?
Gracias de antemano.
Respuestas
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Deje $X$ ser cualquier countably conjunto infinito (como $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{N}$). Elija cualquier bijection $f:X\to\mathbb{Q}$. Definir las operaciones de $\oplus,\otimes$ $X$ por $$a\oplus b=f^{-1}(f(a)+f(b)),\qquad a\otimes b=f^{-1}(f(a)\cdot f(b))$$ donde $+$ $\cdot$ son las operaciones en $\mathbb{Q}$. A continuación, estas operaciones suponen $X$ a un campo, de hecho uno que es isomorfo a $\mathbb{Q}$.
Jeff
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Además de la elección arbitraria bijections contables campos, no es en realidad una muy natural la estructura del campo en el set $\mathbb{N}$ motivado por la teoría de juegos, a saber, nim adición y nim multiplicación. Ver el artículo de la wikipedia en nimbers, o mejor consultar directamente a Conway En números y juegos. Este campo es el de la unión (o más bien colimit) de los campos finitos $\mathbb{F}_{2^{2^n}}$
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Sugerencia: índice de un countably infinito campo de $\,F\,$ por cualquier bijection $\,f\,:\,\Bbb N\to F.\,$ Para realizar una operación sobre el terreno en los índices, eliminar la referencia a ellos para obtener los correspondientes elementos de campo, a continuación, realice la operación de campo, entonces el índice el resultado, por ejemplo, $\: n + m = f^{-1}\,(f(n) + f(m)),\:$ al igual que para otras operaciones. Este "jala" la estructura del campo en $\,\Bbb N\,$ es isomorfo al campo $\,F\,$, ya que, por diseño, el mapa de $\,f\,$ es un anillo hom: $\,f(n+m) = f(n)+f(m), \,$ y de manera similar para todas las demás operaciones. Esta es la cantidad de estructuras algebraicas están representados en los ordenadores, donde los índices son las direcciones de los elementos en la memoria o de una matriz.
La misma idea funciona a tirar para atrás (a lo largo de un bijection) las operaciones de cualquier estructura algebraica, la inducción de una isomorfo estructura algebraica de un conjunto de la misma cardinalidad. Este es un trivial caso especial de transporte de la estructura.
Aquí hay algunos ejemplos más interesantes. Esta respuesta contiene un instructivo fácilmente captado finito ejemplo, donde $\, n\ {\rm mod}\ 7\:$ es la etiqueta/indexados por $\, n - 3.$
Ver también esta respuesta, donde la razón detrás de un truco se reduce al hecho de que una operación en racionales es asociativa y conmutativa, simplemente porque es la suma o la multiplicación transportado a racionales marcadas por la recíproca o incrementos.
Un hermoso e importante ejemplo es el transporte de la clase de la estructura del grupo de cuadrática campos de los ideales primitivos binario cuadráticas formas - que simplifica en gran medida de Gauss, la presentación de composición de formas. Por ejemplo, Gauss, la prueba en Disq. Arith. de la asociatividad de la composición de formularios muchas páginas de abstruso cálculos. Pero hoy en día podemos deducir de inmediato, ya que es simplemente transporta ideal de la multiplicación, que es claramente asociativa.
