Mostrar que (2,0,4), (4, 1, -1), (6,7,7) forma un triángulo rectángulo

Question

Lo he intentado:

Que luego A=(2,0,4), B=(4,1,-1), C=(6,7,7)

$$\vec{AB}=(2,1,-5), \vec{AC}=(4,7,3), \vec{BC}=(2,6,8)$$

Entonces calcula el ángulo entre vectores:

$$\begin{aligned} \alpha_1 &= \cos^{-1}\left(\frac{(2,1,-5)(4,7,3)}{\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}\sqrt{4^2+7^2+3^2}}\right) \\ &= \cos^{-1}(0)=90° \\ \alpha_2 &= \cos^{-1}\left(\frac{(4,7,3)(2,6,8)}{\sqrt{4^2+7^2+3^2}\sqrt{2^2+6^2+8^2}}\right) \\ &= \cos^{-1}\left(\frac{74}{\sqrt{74}\sqrt{104}}\right)=32.49\\ \alpha_3 &= \cos^{-1}\left(\frac{(2,6,8)(2,1,-5)}{\sqrt{2^2+6^2+8^2}\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}}\right) \\ &= \cos^{-1}\left(\frac{-30}{\sqrt{104}\sqrt{30}}\right)=122.5° \end{alineados} $$

Como se puede ver, este ángulos incluso no forman un triángulo, ¿qué estoy haciendo mal, alguna idea?

Answer 1

Es suficiente para mostrar lo siguiente: $$(2,1,-5)\cdot(4,7,3)=0$ $ y hemos terminados!

Answer 2

Las distancias satisfacen el teorema de Pitágoras.

$d(A, B) = \sqrt{2^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{30}$

$d(A, C) = \sqrt{4^2 + 7^2 + 3^2} = \sqrt{74}$

$d(B, C) = \sqrt{2^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{104}$

Y en efecto:

$\sqrt{30}^2 + \sqrt{74}^2 = \sqrt{104}^2$

Por lo tanto es un triángulo rectángulo (enlace).

Answer 3

Para encontrar el $\alpha_3=\angle ABC$, debe considerar $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$. Es por eso tienen un coseno negativo y obtener el ángulo complementario de la respuesta correcta.

Answer 4

$180°-122.5°=57.5°$ y los ángulos suma $180°$, nada malo aquí.

Los ángulos encuentran nada tiene que ver con si hay un triángulo con los tres puntos como vértices. El triángulo está formado ya por los tres puntos antes de medir los ángulos.

Answer 5

Vectores tienen direcciones, y si el ángulo que se calcula entre dos direcciones. Por ejemplo, cuando calcular $∠ABC$, debe utilizar $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}$.