¿Convergen esta suma de números primos?

Question

$\newcommand{\P}{\operatorname{P}}$Me pregunto si esta suma de números primos converge y cómo puedo calcular el valor de la convergencia.

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\P[k+1]-2\P[k+2]+\P[k+3]}{\P[k]-\P[k+1]+\P[k+2]}$$

$ \ $

\begin{align} \sum_{k=1}^{10} \frac{\P[k+1]\cdots}{\P[k]\cdots} & = 0.4380952380952381` \\ & \,\,\, \vdots \\ \sum_{k=1}^{10^5} \frac{\P[k+1]\cdots}{\P[k]\cdots} & =0.49433323447491884` \\[10pt] \sum_{k=1}^{10^6} \frac{\P[k+1]\cdots}{\P[k]\cdots} & = 0.49433634247938607`\ \approx \frac{5}{7}\zeta(3)^{-2} \end{align}

$\ $

$ \zeta(s) \ $ es el Reimann de la función zeta

P$[n] \ $ $n^\text{th}$ número primo

$\ $

Esto es suficiente para afirmar que la serie converge?

¿Cómo puedo calcular el valor de la convergencia y, si es racional o irracional?

Answer 1

Como ya he comentado en @user1952009 la respuesta, la serie converge en virtud de la asunción de Cramer conjetura. Sin embargo, podemos probar la convergencia de la serie incondicionalmente. Tenemos de hecho un resultado parcial de las sumas de cuadrados de primer lagunas, lo que fue demostrado por R. Heath-Marrón. Aquí's el enlace al artículo:

Teorema [Heath-Brown]

Deje $p_n$ $n$- ésimo primo, y deje $g_n = p_{n+1}-p_n$. Entonces tenemos $$ \sum_{n\leq x} g_n^2 \ll x^{\frac{23}{18}+\epsilon}. $$

Después de @user1952009 la respuesta, es suficiente con considerar la convergencia de (1): que es $$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{g_k g_{k+c}}{k^2 \log^2 k} < \infty. $$

Tenga en cuenta que $2g_kg_{k+c}\leq g_k^2 + g_{k+c}^2$, por lo que es suficiente para considerar la convergencia de $$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{g_k^2}{k^2\log^2 k} $$ desde la misma idea se aplica a $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{g_{k+c}^2}{k^2\log^2 k}$. Vamos $A(x)=\sum_{k\leq x} g_k^2$, $f(x) = \frac1{x^2 \log^2 x}$. Heath-Marrón del resultado de los estados $A(x) \ll x^{23/18+\epsilon}$. A continuación, por parciales de suma, tenemos $$ \begin{align} \sum_{2\leq k\leq x} \frac{g_k^2}{k^2\log^2 k}&=\int_{2-}^x f(t) dA(t) \\ &=f(t)A(t) \bigg\vert_{2-}^x -\int_{2-}^x A(t) f'(t)dt\\ &=f(2-)A(2-) + O\left( x^{-\frac{13}{18}+\epsilon} \right)+\int_{2-}^x \frac{2A(t) (\log t + 1) }{t^3\log^3 t}dt \end{align} $$ Ahora, tenemos la convergencia, ya $23/18 - 3 = -31/18<-1$.

Otro problema que utiliza Heath-Brown resultado está aquí.

Answer 2

Dejando $b_k = p_k - p_{k+1}+p_{k+2}$ y $a_k = g_{k+2} - g_{k+1}$ donde $g_k = p_{k+1}-p_k$,

sumando por partes $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} = \frac{g_2-g_{n+2}}{b_n}+\sum_{k=1}^{n-1} (g_2-g_{k+2})(\frac{1}{b_k}- \frac{1}{b_{k+1}})$$ Desde $b_k \sim k \log k$ $$\frac{1}{b_k}- \frac{1}{b_{k+1}}= \frac{b_k-b_{k+1}}{b_kb_{k+1}}\sim \frac{g_k+g_{k+1}+g_{k+2}}{k^2 \log^2 k}$$ También sabemos $g_k = \mathcal{O}(k^\theta)$ algunos $\theta < 0.6$ pero esto no es suficiente para concluir.

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Esperamos que en lugar de $$\sum_{k=2}^\infty \frac{g_k g_{k+c}}{k^2 \log^2 k} \overset{?}< \infty \tag{1}$$

Por sumación por partes $\sum_{k=2}^K \frac{g_{k+c}}{k \log k} \sim \log K$ , de modo que yo diría que sí $\sum_{k=2}^\infty \frac{g_k g_{k+c}}{k^2 \log^2 k}$ converge, pero no puedo demostrarlo.

Sumando por partes de $\sum_{k=K}^\infty \frac{g_k }{k^2 \log^2 k} \sim \frac{1}{k \log k}$ me permite pensar $(1)$ converge.