Pregunta básica sobre superspace, números de Grassmann y supersimetría de la hoja de mundo

Question

Así que, estoy tratando de leer la sección sobre superspace del libro sobre la teoría de cuerdas por Becker, Becker y Schwarz, y me di cuenta de que me he quedado estancado en algo sencillo para un rato. Algunas ecuaciones son: $$Y^\mu(\sigma,\theta)=X^\mu(\sigma)+\bar\theta\psi^\mu(\sigma)+\frac{1}{2}\bar\theta\theta B^\mu(\sigma)\tag{4.19}$$ $$Q_A=\frac{\partial}{\partial\bar\theta_A}-(\rho^\alpha\theta)_A\partial_\alpha\tag{4.20}$$ Aquí $Y$ es un superfield, $Q$ SUSY generador, $\theta$ un Grassmann spinor, y $\{\rho^\alpha\}$ las dos dimensiones de las matrices de Dirac.

1. El libro define el sobrecargo $Q_A$ en la ecuación 4.20 y pasa a estado $$\delta\theta_A = [\bar{\epsilon}Q, \theta^A] = \epsilon^A. \tag{4.21}$$ $$\delta\sigma^\alpha = [\bar{\epsilon}Q, \sigma^\alpha] = -\bar{\epsilon}\rho^\alpha\theta = \bar{\theta}\rho^\alpha \epsilon. \tag{4.22} $$ Son estas definiciones, o pueden ser justificados mediante la ecuación 4.20? Supuse que el último y trató de "derivar" les pegue una función de prueba de la worldsheet supercoordinates, pero me atoré porque el segundo plazo en el colector. ¿Por qué desaparecen?

2. También, ¿por qué es la raíz de una superfield transformación dada por $$\delta Y^\mu = [\bar\epsilon Q, Y^\mu] = \bar{\epsilon}QY^\mu. \tag{4.23} $$ Específicamente, el colector también contiene un segundo término, pero de alguna manera caer todavía da la respuesta correcta.

3. Finalmente, si uno de los enchufes en la expresión general para la superfield que es la ecuación 4.19 del libro, uno hace recuperar el correcto worldsheet la supersimetría transformaciones, siempre y cuando uno toma la derivada de $\bar{\theta}\theta$ con respecto al $\bar{\theta}$ a -2. ¿Cómo justificar que? Las transformaciones son: $$\delta X^\mu=\bar\epsilon \psi^\mu\tag{4.25}$$ $$\delta\psi^\mu=\rho^\alpha\partial_\alpha X^\mu\epsilon+B^\mu\epsilon\tag{4.26}$$ $$\delta B^\mu=\bar\epsilon\rho^\alpha\partial_\alpha\psi^\mu\tag{4.27}$$

Answer 1

1. La variación $\delta F$ por cualquier campo (o grado de libertad) $F$, dada una transformación infinitesimal, es siempre calcula como el colector $$ \delta F = [ \bar\epsilon Q, F ] $$ donde $\bar \epsilon$ es un parámetro ("ángulo" o "shift" o algunos de generalización) de la transformación y de la $Q$ es el generador. (Aquellos que pueden ser sustituidos por otras letras.)

Esta es la costumbre Mentir-álgebra basado en la manera cómo los operadores de transformación. El finito (pero muy cerca de identidad) transformación puede decirse que la $$ U = \exp(\bar\epsilon Q) = 1 + \bar\epsilon Q + o(\epsilon) $$ y la diferencia de los conjugados $F$ de la original, es la variación $$\delta F = U F U^{-1} - F $$ Así que estas totalmente reglas generales que se enseña en el pregrado de la mecánica cuántica, etc. se acaba de aplicar el generador de $Q$, el infinitesimal "superangle" $\bar\epsilon$, y los operadores como $\theta^A$, $\sigma$, y $Y$...

Tenga en cuenta que el producto $\bar\epsilon$ es "bosonic", por lo que su conmutadores, y no anticommutators, introduzca las fórmulas. Sin embargo, pueden ser descompuestas para anticommutators.

Esto explica que el primer "ecuación" en (4.21) y (4.22). Los siguientes son los cálculos reales, el uso de (4.20). El segundo término en $Q$ según (4.20), que contrains $\partial_\alpha$, no aportar nada (4.21) debido a $\theta^A$ $\sigma^\alpha$ son independientes de las coordenadas de la superspace (super mundo de la hoja), entonces la derivada parcial de uno con respecto al otro se desvanece.

De forma análoga, el primer término se desvanece y sólo el segundo término contribuye en (4.22).

2. En (4.23), la expresión de $QY^\mu$ simplemente significa lo mismo que"$[Q,Y^\mu]$: es el diferencial de los operadores en $Q$, con todos los coeficientes, actuando en $Y^\mu$. Es similar a la diferenciación de funciones de los cargos en el ordinario de la mecánica cuántica. Imagine que tiene una función de $V(x)$ del operador $x$. A continuación, puede escribir $V'(x)$, una diferente, la función diferenciada de la misma operador $x$ $i/\hbar$ veces $[p,V(x)]$. El colector de $p$ ($x$- derivado) con el operador hace la diferenciación de las funciones. En el estado de vectores, derivados de la ley, simplemente, desde la izquierda, pero el análogo de acción de los operadores tiene que ser escrito como conmutadores.

El otro término $[\bar\epsilon,Y^\mu]=$ no aporta nada, es cero, debido a que $\bar\epsilon$ es un (Grassmannian pero aún) $c$-número. Así que este análogo es cero tanto como el colector $[5,x]$ en la mecánica cuántica.

3. La derivada de $\bar\theta^A \theta$ con respecto al $\bar\theta^A$$+\theta$, como la división, y se puede obtener un factor de $2$ no es una suma de $A$. Es, hasta la posible aparición de signos, la misma afirmación como la de que la $x$-derivado de la $xy$$y$. Usted debe haber perdido algunas prefactors $\theta$ en algunos términos cuando se decidió sobre el resultado incorrecto de la derivada.

El nombre de el macho co-autor es John Schwarz, no Schwartz.