Ha llegado a mi atención que la vinculación axioma y la separación axioma esquema rara vez son mencionados, ya que se sigue de la sustitución de los axiomas. Veo cómo esto funciona para el emparejamiento axioma, ya que puede tomar un conjunto, decir $A=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$, que existe por el poder conjunto de axiomas y de la existencia de la emptyset, y definir una comisión de nombramientos fórmula en $A$ por $$ \phi(u,v)\colon (u=\emptyset\de la tierra v=a)\lor(u\neq\emptyset\de la tierra v=b) $$ a ver que $\{a,b\}$ es un conjunto de lances $a$$b$. Sin embargo, yo no lo veo para la separación de esquema. Es posible que alguien me ilumine sobre cómo van a seguir? Gracias.
Respuestas
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La sustitución axioma (axioma esquema) es el más general de la forma que usted necesita, esencialmente diciendo que si usted tiene una función cuyo dominio es un conjunto, entonces la imagen es también un conjunto. Además, el conjunto vacío puede ser inferida por la existencia de cualquier conjunto en todo, cuando se combina con la separación (y, por lo tanto, se puede deducir por sustitución).
Formalmente hablando, el reemplazo del esquema se dice que por cada fórmula $\varphi(u,v,p_1,\ldots,p_n)$, fijar los parámetros $p_1,\ldots,p_n$ y elegir cualquier conjunto de $A$, siempre que $u\in A$ tiene más de uno $v$ que $\varphi(u,v,p_1,\ldots,p_n)$ es verdadera, entonces la colección de $\{v\mid\varphi(u,v,p_1,\ldots,p_n), u\in A\}$ es también un conjunto.
Cómo inferir de la separación y vinculación? Simple.
Primero se infiere de la separación. Dado $\phi(x)$, simplemente nos definen $\varphi(u,v,p)$ $$\varphi(u,v,p)\stackrel{\text{def}}{=} u=v\land u\in p\land\phi(u)$$ Este es un funcional de la fórmula (es decir, por cada $u$ existe en la mayoría de un solo $v$ que $\varphi(u,v,p)$ tiene) y es fácil comprobar que la imagen de $\varphi(u,v,a)$ es, de hecho,$\{x\in a\mid \phi(x)\}$.
El conjunto vacío existe por separación - simplemente tomar algo de $a$ (que existe porque se supone que hay algunas en el universo) y la función de $\phi(x)\colon = x\neq x$.
Como usted señaló, $\{\emptyset ,P(\emptyset)\}$ existe por el Poder conjunto de axiomas.
Ahora para un determinado $x,y$ queremos tener $\{x,y\}$, por lo que definimos la siguiente $\varphi(u,v)$ como la siguiente: $$\varphi(u,v) \colon = (u=\emptyset\wedge v=x)\vee (u=P(\emptyset)\wedge v=y)$$
Tenga en cuenta que $\varphi$ es un funcional de la fórmula, es decir, para un determinado $u$ sólo hay un $v$ que $\varphi(u,v)$ es cierto. Por el axioma de reemplazo que ahora tenemos que $\{x,y\}$ es un conjunto. Por lo tanto, el axioma de emparejamiento tiene si suponemos que el juego de Poder y de Reemplazo.
Ahora tenemos dos maneras de mirar ZFC. A veces queremos demostrar que algo es un modelo de ZFC y la necesidad de verificar la lista de axiomas en cuyo caso demostrando tanto la Separación y el Reemplazo es completamente redundante. En otras ocasiones queremos demostrar ciertas cosas que son más rápidos cuando se utiliza el más axiomas específicos (por ejemplo, de emparejamiento (o incluso ordenó la vinculación, que puede ser rápidamente inferirse de emparejamiento de sí mismo)).
Este es un tipo de libertad que nos permiten a nosotros mismos. Podemos añadir axiomas que realmente no necesitamos. Entonces, si queremos asegurarnos de que todos los axiomas mantener comprobamos que el "núcleo" de la axiomática del sistema, y cuando queremos facilidad en nosotros mismos, en otros casos, simplemente tenemos que usar el extra de axiomas para nuestra conveniencia.
Jonathan
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3229
Dado un conjunto de $A$ y una fórmula $\phi(x)$ creamos la clase de función que envía cada elemento $a\in A$ $\{a\}$ si $\phi(a)$ y $\varnothing$ lo contrario. Típicamente esto se escribiría %#% $ #%
Luego tomar la Unión del conjunto se produce con el axioma del reemplazo que usted consigue lo que buscas.
Oli
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89
Que $A$ ser un conjunto. Queremos probar la existencia del conjunto de $X$ de todos los elementos que cumplan una cierta fórmula $A$ $\phi$. Si ningún elemento de $A$ $\phi$ la cumple, la existencia de $X$ es fácil.
De lo contrario, supongamos que cumple con que $a \in A$ $\phi$. Definir la relación funcional $\rho$ $\rho(x,a)$ si $x$ no satisface $\phi$ y $\rho(x,x)$ si $x$ $\phi$ de cuanto. Entonces $X$ es el "rango" de $\rho$ como viajes de $x$ $A$.
