¿Que tiene mayor cardinalidad, $\mathbb Q^\mathbb R$ o $\mathbb R^\mathbb Q$?

Question

¿Que tiene mayor cardinalidad, $\mathbb Q^\mathbb R$ o $\mathbb R^\mathbb Q$? Creo que debo utilizar el teorema de Bernstein Schroder pero yo no puedo encontrar las inyecciones necesarias / demostrar que no cualquiera.

Answer 1

$\def\Q{\mathbf Q}\def\R{\mathbf R}$

$\R^{\Q}$ tiene cardinalidad $$ (2 ^ {\aleph_0}) ^ {\aleph_0} = 2 ^ {\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2 ^ {\aleph_0} $$ $|\R^\Q| = |\R|$, $\Q^{\R}$ tiene cardinalidad $$ | \Q^\R| = \aleph_0^{2^{\aleph_0}} \ge 2 ^ {2 ^ {\aleph_0}}, $$ $ $ así que | \Q^\R| \ge | \mathfrak P(\R) | > | \R| = |\R^{\Q}| $$