Ángulo imaginario simple problema centrífugo

Question

Decir que alguien es el giro de una masa en una cadena con un período de $T$ alrededor. Si $T$ es muy grande, la masa va a describir un pequeño círculo alrededor de la cintura de la persona. Si $T$ es muy pequeña, el plano de movimiento debe estar alrededor de los hombros en alto, con el radio real, siendo la longitud total del brazo y la cadena.

La pregunta para el ángulo de equilibrio para un determinado$T$$R$. El ángulo de $\theta$ se mide entre la persona y de su brazo. $\theta=0$ significa que la cadena es hacia abajo, y $\theta = \pi/2$ significa que la cadena es paralelo al suelo. $R$ es la longitud del brazo y la cadena.

Así que yo pensé que las dos fuerzas sobre la masa son la gravedad, $F_g=mg$, y la fuerza centrífuga, $F_c=m \omega^2 r=m \omega^2 \sin \theta R$. Las dos fuerzas tienen una resultante de la fuerza, que también actúa en un ángulo de $\tan \phi = F_c/F_g$ sobre la masa.

En equilibrio, ambos ángulos tienen que ser el mismo. Así que me digo:

$$\tan \theta = \tan \phi = \frac{m 4 \pi^2 \sin \theta R}{m g T^2}$$ $$\frac{\tan \theta}{\sin \theta} = \frac{m 4 \pi^2 R}{m g T^2}$$ $$\cos \theta = \frac{g T^2}{4 \pi^2 R}$$

Para los valores dados, $T=0.45s$ $R=15cm$ me sale un $\theta=1.23$, lo cual me parece razonable.

Entonces el problema pide $T=0.85s$. La pregunta es formulada como pidiendo problemas, así que no se siente mal por mi función de darme $\theta = 0.618i$.

Pero, ¿cómo es esto supone para hacer algún sentido? Si hago girar la masa más lento, el ángulo tiene que ser menor. Si hago girar con casi cero de la velocidad (infinito período de $T$), que debería obtener un ángulo de alrededor de $\theta=0$, nada más. Pero el ángulo es exactamente cero para un determinado $R$ $T$ y luego se va imaginario más allá de eso.

Puede que alguien me ilumine, o dime lo que hice mal en la derivación?

Más pensamientos basados en la Marca Eichenlaub la respuesta

Las fuerzas perpendicular a la cuerda parecido a este:

(Lo sentimos, la fuerza de restauración tiene una condición Sine en ella, no la Tangente.)

La fuerza neta sobre la masa es, por tanto, la diferencia:

(Si la parcela esta con Seno en lugar de la Tangente, que sale a 1.22 como yo ya tenía de antes.)

Estos son los valores para la primera parte del problema, y uno puede ver los dos puntos de equilibrio (incluyendo el cero) claramente.

Si la frecuencia es menor, como en la segunda parte, no hay ningún equilibrio distinto de cero. Así que no importa cómo de grande es el ángulo, la fuerza de restauración es más grande que la fuerza centrífuga.

(Este picure es ligeramente diferente con el Seno, en lugar de la Tangente, pero no cambia las raíces.)

En esta luz, el imaginario punto de equilibrio conseguí anteriormente parece bastante correcto.

Answer 1

Su análisis es correcto. A pequeñas velocidades, la masa que cuelga hacia abajo.

Usted podría empezar con su imagen; es muy engañoso. (Edit: queueoverflow ahora se ha corregido la imagen!) El texto del problema se supone que el brazo se mantiene exactamente en el mismo ángulo que la cuerda, haciendo efectiva una cadena larga. Su imagen se muestra una historia diferente.

Si el brazo se mantiene en línea recta, a continuación, la fuerza centrífuga es $\omega^2(R_{arm} + R_{string}\sin\theta)$, lo que le da el comportamiento que usted espera; $\theta$ va a cero, como se $\omega$ va a cero.

Sin embargo, cuando se $R_{arm} = 0$, la cadena que cuelga desde el eje de rotación. Una mejor imagen tienen de la cadena conectada al centro de un disco giratorio en el techo.

Dicha cadena/disco combinación tiene dos equilibrios a altas velocidades. Una es $\theta = 0$; la cadena se puede colgar hacia abajo. Este es un trivial solución a la ecuación. El otro tiene la cadena de disparar en un ángulo que aumenta con la $\omega$. De estas dos soluciones, se puede calcular que el segundo es estable y la primera es inestable.

Sin embargo, como $\omega$ disminuye, el ángulo estable viene, y, finalmente, alcanza el 0 $\omega^2 r \to g$. A velocidades más lentas, el estable ángulo es cero.

Por qué? Piense en ello como un péndulo. El péndulo tiene una restauración de la fuerza que es proporcional a su ángulo para ángulos pequeños. Ese es el sello distintivo de un movimiento armónico simple. Que la fuerza de restauración es $mg\sin\theta$ o sólo $mg\theta$ para ángulos pequeños.

Mientras tanto, la fuerza centrífuga tiene una fuerza $\omega^2R\sin\theta$ o sólo $\omega^2R\theta$. Si es más pequeña que la restauración de la fuerza de la gravedad, la cadena, cuando desplazado ligeramente de $\theta = 0$, se siente un fuerte fuerza de restauración de la fuerza centrífuga y regresar al origen.

Alternativamente, el rechazo de la rotación de la trama. Usted acaba de tener un péndulo con dos grados de libertad. Una lenta rotación circular debe ser una solución a la ecuación de movimiento, pero no hay una frecuencia fija para un determinado tamaño del círculo. Para ángulos pequeños, que la frecuencia de rotación debe ser el mismo que el famoso péndulo de frecuencia, $\omega = \sqrt{g/R}$. Set $\cos\theta = 1$ y que es exactamente la frecuencia con la que sale de su análisis.