¿Cómo podemos definir el conjunto de $\{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, ...\}$?

Question

¿Cómo definir el conjunto de elementos que se pueden hacer envolviendo reiteradamente del set null en otro conjunto: $\{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, ...\}$?

He intentado $A = \{x\ |\ x=\emptyset \lor \exists y\in A : x = \{y\}\}$, pero que nos dan una fórmula recursiva, porque $y\in A$ es sustituido por esa misma fórmula.

Es este conjunto definible y en caso afirmativo, ¿cómo?

Answer 1

Qué tal: %#% $ de #% para hacerlo más fácil de leer, me permiten definir los siguientes. Un conjunto de $$\{x\mid\forall A,(\{\}\in A\land(\forall a\in A,\\\{a\}\in A))\Rightarrow x\in A\}$ es hacia arriba si implica de $A$ $a\in A$. (Yo hace un momento esta palabra). Un conjunto de $\{a\}\in A$ se llama totalmente hacia arriba si es hacia arriba que contiene $A$. (También acabo de hacer esto para arriba.) Luego las lecturas anteriores: $\{\}$ $

Answer 2

¿Qué axiomas de teoría determinada están usando? La existencia de un conjunto infinito es independiente de los otros axiomas.

ZFC toma generalmente el axioma del infinito a ser algo como

$$ \exists Z (\emptyset \in Z \wedge \forall x \in Z (x Z \cup \{x\} \in)) $$

pero el axioma sería tan bueno.

¿Ves cómo utilizar mi axioma para construir el conjunto que buscas?

Answer 3

Sí, porque hay un axioma que dice que puede hacer exactamente eso, porque usted no puede derivar de los axiomas más intuitivamente «básica». Se llama el axioma del infinito y es un conjunto no vacío $S$ tal que cuando $X \in S$, entonces el $(\{X\} \cup X) \in S$ así.