Demostrar eso si $f(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t) dt$, entonces el $f(x) = 0$

Question

Probar que si $f(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t) dt$ todos los $x$,$f(x) = 0$.

Yo primero diferenciada para obtener $f'(x) = f(x) - f(0)$. A continuación, por el valor medio teorema existe una $c$ $(0,x)$ tal que $f'(c)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$. Por lo tanto, $f'(x) = xf'(c)$. ¿Qué puedo hacer desde aquí?

Un resumen de la deliberación en los comentarios acerca de la necesidad de los supuestos en $f$:

No se preocupe que necesitábamos supuestos en $f$ tales como la continuidad en el fin de aprovechar de la FTC.

Gracias a Aloizio y Clark para que señalan que ninguna hipótesis necesita ser colocado en $f$ como la integral de Riemann integrable función es continua. Esto nos da que $f$ es continua (ya que por hipótesis tenemos que $f$ es integrable) y por tanto el Teorema Fundamental del Cálculo se aplica.

Answer 1

En primer lugar, sabemos $f$ es continua, ya que $\int_0^x f$ es una función continua al $f$ es Riemann-integrable, o incluso Lebesgue integrable (que supongo que es el caso, ya que de lo contrario esto no tiene sentido). Ahora, tenemos entonces por la FTC que $f$ es diferenciable, y de ello se sigue que $f'(x)=f(x)$ todos los $x$ también debido a la FTC. Desde $f(0)=0$, hemos terminado.

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"Orden de la información": Nos fijamos en el lado derecho, y ver que es una función continua en a$x$, debido al hecho de que $f$ es integrable. Por lo tanto, el lado izquierdo es continua. Mirando el lado derecho ahora, tenemos la integración de hasta el $x$ de una función continua, que es derivable por la FTC.

Answer 2

Supongo que $f$ es continua. El Teorema fundamental del cálculo nos dice que es en realidad diferenciable, y además distinguiendo ambos lados obtenemos

$$f'(x) = f(x)$$

Así $f(x)$ es una función que es su derivado y por lo tanto es de la forma $f(x) = ce^{x}$. ¿Cuál es la constante $c$? Simplemente calcular

$$f(0) = \int_{0}^{0} f(x) = 0$$

para ver que $c = 0$ y nosotros estamos hecho.

Answer 3

Como se señaló en otra parte, si $f(x)=\int_0^x f(t)\,dt$$x\ge 0$, $f$ es necesariamente continua. Ser continuo, no es un punto de $x_0\in[0,1/2]$ tal que $f(x_0)\ge f(x)$ todos los $x\in[0,1/2]$. Observe que $f(x_0)\ge f(0)=0$. Entonces tenemos $$ f(x_0)=\int_0^{x_0}f(t)\,dt\le\int_0^{x_0}f(x_0)\,dt=x_0f(x_0). $$ Por lo tanto, cualquiera de las $f(x_0)=0$ o $1\le x_0$, lo cual es absurdo. Llegamos a la conclusión de que $f(x_0)=0$, y por lo $f(x)\le 0$ todos los $x\in[0,1/2]$. De la misma manera $f(x)\ge 0$ todos los $x\in[0,1/2]$. Es decir, $f$ se desvanece en $[0,1/2]$. Repita este argumento en $[1/2,1], [1,3/2],\ldots$ a la conclusión de que la $f$ es idéntica $0$.

Answer 4

Suponiendo que la distinción de $f$ es legal y usando el teorema Fundamental de cálculo (FTC),

$$f' (x) = f(x)$$

De integración,

$$f (x) = f_0 \exp (x)$$

Tomamos nota de que $f (0) = 0$. Por lo tanto, $f_0 = 0$ y, por tanto, $f (x) = 0$ % todos $x \in \mathbb R$.

Answer 5

Tenemos $f'=f.$

(1). Tenemos $f(0)=\int_0^0f(x)\;dx=0.$

(2). Para cualquier $x,$si $f(x)=0$ $f(y)=0$ todos los $y\in [-1+x,1+x]. $ PRUEBA: por comodidad, Por $a\ne b$ deje $In (a,b)$ denotar el intervalo abierto entre el$a$$b$.

Ahora para $0<|y-x|< 1$ hemos $$f(y)/(y-x)=(f(y)-f(x))/(y-x)=f'(y')=f(y')$$ for some $y' \en (y,x),$ by the MVT and by $f'=f$. So there exists $s'\en (y,x)$ satisfying $$f(y)=(y-x)f(y').$$

De modo que existe $(y_n)_{n\geq 0}$$y_0=y$, e $y_{n+1}\in In (y_n,x), $ donde $y_{n+1}$ satisface $f(y_n)=(y_n-x)f(y_{n+1}).$ Deje $M=\max \{|f(z)|: 0\leq |z-x|\leq 1\}.$ $$|f(y)|=|f(y_{n+1})\prod_{i=1}^n(y_n-y)|\leq M |y-x|^n,$$ which $\0$ as $n\to \infty.$ Therefore $|y-x|<1\implica f(y)=0.$ Then by continuity of $f$ we also have $f(x-1)=f(x+1)=0.$

(3).Por (1) y(2) $f^{-1}\{0\}\supset [-1,1].$

Ahora para $n\in N,$ si $f^{-1}\{0\}\supset [-n,n]$, entonces por (2) $f^{-1}\{0\}\supset [n-1,n+1]$ $f^{-1}\{0\}\supset [-n-1,-n+1],$ dando $$f^{-1}\{0\}\supset [-n-1,-n+1]\cup [-n,n]\cup [n,n+1]=[-n-1,n+1].$$ Hence by induction on $n$ we have $$f^{-1}\{0\}=\mathbb R.$$