Clausura proyectiva

Question

Es el proyectivas de cierre de una infinita variedad afín (más de un algebraicamente cerrado de campo, que sólo se preocupan por el caso clásico ahora) siempre estrictamente mayor que la variedad afín? Sé que es un subconjunto denso de su proyectivas de cierre, pero no creo que realmente puede ser su propio proyectivas de cierre, a menos que es finito.

Supongo que mi intuición me tiene preocupado acerca de casos como el plano de la curva de $X^2 + Y^2 - 1$, ya que la parte real es compacto, pero dicha curva debe todavía "escapar al infinito" a través de una algebraicamente cerrado de campo, ¿verdad?

Answer 1

Se puede demostrar que si la dimensión de la variedad afín es positivo (lo que es equivalente, si es infinito en el sentido de nuestra pregunta) entonces el proyectivas de cierre es estrictamente mayor.

Probablemente hay un montón de maneras para probar esto, pero una de ellas es una versión de Noether normalización. Si desea una detallada prueba, hágamelo saber por un comentario y me puede dar una.

(Otra manera de expresar este resultado es para decir que una variedad que es, simultáneamente, afín y proyectiva es necesariamente finito. El plan de la teoría de los mavens reconocerá esto como un caso especial de la afirmación más general que una de morfismos que es al mismo tiempo afín y apropiada es finito.)

Añadido: Aquí es un boceto de una prueba, como se había prometido:

Permítanme comenzar con Noether normalización en una forma geométrica. Fijar una afffine variedad $V$$\mathbb A^n$, con proyectiva closue $\overline{V}$. (Aquí y a continuación siempre estoy trabajando sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$.)

Suponiendo que $V$ no $\mathbb A^n$, podemos ver que $\overline{V}$ no contiene el hyperplane en el infinito, y así podemos elegir un punto de $P$ acostado en la hyperplane al infinito, pero no mentir en $\overline{V}$. También podemos escoger una de las diferentes hyperplane $H$ (es decir, no la hyperplane en el infinito) que no contenga $P$.

Con $P$ $H$ en la mano, podemos definir el mapa de proyección $\pi: \mathbb P^n \setminus P \to H$, que los mapas de cualquier $Q \neq P$ a la intersección de la línea de $\ell$ unirse a $P$ $Q$ con el hyperplane $H$. La restricción $\pi$$\overline{V}$, se obtiene un mapa de $V \to H$.

Ahora desde $P$ no está contenido en $\overline{V}$, ninguna de las líneas de $\ell$ que aparecen en el mapa de proyección está contenida en $V$, y así cada uno de ellos cumpla $\overline{V}$ en sólo un número finito de puntos. En particular, si $\overline{V}$ es infinita, por lo que es su imagen en $\pi$.

Ahora por la eliminación de la teoría, es decir, el hecho de que las variedades son adecuadas, sabemos que $\pi(\overline{V})$ es cerrado en $H$, es decir, es una variedad proyectiva en $H$, que es un espacio proyectivo de dimensión $n-1$.

Además, nuestra selección de $P$ asegura que para cualquier $Q \in \overline{V}$, la imagen de $\pi(Q)$ se encuentra en el infinito si y sólo si $Q$ sí lo hace. Por lo $\pi(V)$ es una variedad afín (en el espacio afín $H \cap \mathbb A^n$ de la dimensión de $n-1$), y $\pi(\overline{V})$ es su proyectivas de cierre.

Lo que he hecho es probar Noether normalización, en una forma geométrica.

El resultado que queremos ahora sigue immeidately, por inducción en $n$. (Básicamente, el caso cuando $V = \mathbb A^n$ es claro, y si $V$ no $\mathbb A^n$, el anterior argumento nos permite reducir la dimensión del ambiente afín espacio en uno).