Rutas en $\mathbf{Z}^n$ de cierta longitud fija

Question

Esto debe ser una pregunta simple, pero lamentablemente no puedo encontrar una expresión de forma cerrada para la siguiente cantidad: el número de caminos de valores enteros de una cierta longitud $k$ $(0,\cdots,0)$ $(P_1,\cdots,P_n)$ $\mathbf{Z}^n$.

Cuando $n=1$ esto es trivial, pero incluso cuando $n=2$ estoy atascado. ¿Existe una expresión general de la forma cerrada de la cantidad anterior? ¿Hay una exposición en algún lugar?

Answer 1

Que $r=|a_1|+|a_2|+\dots +|a_n|-k$. Claramente si $r<0$ o si $r$ hay impar no están respuestas, en el segundo caso por argumento de color perfectamente.

En caso contrario obtenemos la repetición siguiente: $$f_k(a_1,a_2\dots a_n)=\sum\limits_{j=0}^{r/2}f_{k-a_n-2j}(a_1,a_2\dots ,a_{n-1})\binom{k}{a_n+2j}\binom{a_n+2j}{j}