Habitualmente sólo ver el gráfico de $y=x^x$$x>0$, debido a $x^x$ es un número complejo para la mayoría de los valores negativos de $x$. Sin embargo, aquí es un gráfico de $y=x^x$ sobre la recta real:
Este gráfico puede parecer que no es ni siquiera una función, a falta de la prueba de la línea vertical, pero lo que realmente está sucediendo es que la gráfica contiene una infinidad de agujeros. Es cierto que $x^x$ no es un número real para casi todos los valores de $x<0$, pero es real en la rara situación al $x$ es un número racional que tiene un denominador impar cuando se escriben en la forma más simple. En ese caso, $x^x$ es un número real positivo al $x$ se puede escribir como un número se divide por un número impar, y un número real negativo al $x$ se puede escribir como un número impar se divide por un número impar. Tan sólo los puntos racionales se representan graficamente, pero ya que los números racionales son densos en los números reales parece que tenemos continuas curvas.
Mi pregunta es, ¿cuáles son las continuas curvas que parecen estar allí? Cualquier curva continua definida en un subconjunto denso de los reales puede ser el único extender a una función continua en todos los reales. Entonces, ¿qué función continua pasa a través de todos los puntos de $(x,x^x)$ donde $x<0$ $x$ se puede escribir como un número se divide por un número impar? (Me pido el análogo pregunta acerca de la segunda curva, pero parece ser un espejo de la imagen de la primera.)
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Gracias de Antemano.
