Expansión asintótica integral de $\int_0^{\pi/2} \exp(-xt^3\cos t)dt$ $x \to \infty$

Question

Tengo el % integral $$I(x)=\int_0^{\pi/2}\exp(-xt^3\cos t)dt$$ y quiero obtener los dos primeros términos de la expansión asintótica $x\rightarrow \infty$, que me debe dar $$\frac{1}{3x^{1/3}}\Gamma(1/3)+\left(\frac{1}{6}+\frac{8}{\pi^3} \right)\frac{1}{x}+\dots$ $

El método de Laplace como indicado aquí, obtener solamente un término así que mi idea era utilizar la integración parcial, que me da $$\pi/2-\int_0^{\pi/2} \left[ \exp(-xt^3\cos t)\,\, t\,\,(xt^3\sin(t)-3xt^2\cos(t)) \right] dt$ $

Answer 1

Bueno, hay dos contribuciones debido a que el exponente es cero en $t=0$$t=\pi/2$. Consideremos $t=0$ primera. En la vecindad inmediata de $t=0$ (vamos a llegar a lo que eso significa en un poco), el exponente se comporta como $x t^3$, de modo que como $x\to\infty$, tenemos

$$I(x) \sim \int_0^{\infty} dt \, e^{-x t^3} = \frac{\Gamma\left ( \frac{4}{3}\right )}{x^{1/3}} = \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{3}\right )}{3 x^{1/3}} \quad (x\to\infty)$$

¿Cuál es el tamaño de la vecindad? Bueno, queremos $0 \lt x t^3 \lt \epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon$, por lo que tenemos $0 \lt t \lt (\epsilon/x)^{1/3}$.

También tenemos una contribución en un barrio cerca de $t=\pi/2$; le Taylor ampliar y hacer que

$$t^3 \cos{t} = -\frac{\pi^3}{8} \left ( t-\frac{\pi}{2}\right ) + O\left [ \left ( t-\frac{\pi}{2}\right )^2\right ]$$

En realidad, sólo estamos interesados en los valores positivos de esta expansión, como el exponente es positivo a través de la integración de la región. Si nos fijamos sólo en el vecindario inmediato cerca de $t=\pi/2$, pero con $t \lt \pi/2$, entonces podemos aproximar la contribución a la integral no como

$$\int_0^{\infty} dy \, e^{-\pi^3 x y/8} = \frac{8}{\pi^3 x}$$

No tiene sentido agregar, simplemente, estos dos términos juntos y declarar el líder comportamiento de $I(x)$ hasta que se investiga el próximo líder del comportamiento de la contribución en $x=0$. Tenga en cuenta que la próxima contribución en el exponente es $x t^5/2$; en el intervalo de interés, esto es $O(x^{-2/3})$, por lo que podemos Taylor ampliar este término exponencial por separado. El resultado es el siguiente integral para la próxima contribución en $t=0$:

$$\frac12 x\int_0^{\infty} dt \;t^5 \, e^{-x t^3} = \frac1{6 x}$$

Tenga en cuenta que esto es $O(1/x)$ como es la principal contribución de $t=\pi/2$, por lo que podemos añadir estos. El declaró resultado de la siguiente manera.