Expresión alternativa de los coeficientes de la serie L

Question

Tenía la esperanza de que alguien pueda ayudar a aclarar una fuente de confusión para mí, debo de estar haciendo y diciendo algo mal pero no sé qué: Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ y dejar $$L(s,E)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(E)n^{-s}$$ ser la Hasse-Weil $L$-función de $E$. Por último, vamos a $\tilde{E}$ ser la reducción de la $E$ mod $p$ y asumir que $p$ es un primer para que $E$ tiene buena reducción.

Entonces $$a_p(E)=p+1-|\tilde{E}(\mathbb{F}(p))|$$ y establecimiento $a_1(E)=1$ $p$ de la potencia de los coeficientes están dados por $$a_{p^e}(E)=a_p(E)a_{p^{e-1}}(E)-pa_{p^{e-2}}(E).$$

Ahora busca en el Diamante y el Shurman, por ejemplo, me parece que también podemos escribir $$a_{p^e}(E)=p^e+1-|\tilde{E}(\mathbb{F}(p^e))|$$ pero cuando se utiliza esta expresión como una "definición" de $a_{p^e}(E)$ y hacer algunos cálculos explícitos no tengo el derecho de recursividad, por ejemplo, me parece que conseguir en la práctica $$a_{p^2}(E)=a_p(E)^2 - 2p$$ en lugar de $$a_{p^2}(E)=a_p(E)^2-p.$$

Debo ser malentendido algo, pero no puedo averiguar qué. Alguna ayuda?

Answer 1

Hay dos diferentes recursiones que participan aquí, uno de los puntos de $E$${\mathbb F}\_{p^n}$, y el otro para los coeficientes de la $L$-función.

Si escribimos $a_p = \alpha + \beta,$ donde $\alpha\beta = p$ (por lo $\alpha$ $\beta$ las dos raíces de la car. poli. de Frobenius), entonces

$$1 + p^n - E({\mathbb F}\_{p^n}) = \alpha^n + \beta^n.$$

Por otro lado, el factor de Euler en $p$ $L$- función de $E$ es $$(1 - \alpha p^{-s})^{-1}(1-\beta p^{-s})^{-1}$$ $$= (1 + \alpha p^{-s} + \alpha^2 p^{-2} + \cdots )(1 + \beta p^{-s} + \beta^2 p^{-2} + \cdots )$$ $$= 1 + (\alpha + \beta) p^{-s} + (\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) p^{-2} + \cdots ,$$ y así llegamos a la conclusión de que $a_{p^n}$ (el coeficiente de $p^{-ns}$ $L$- función) es igual $$\alpha^n + \alpha^{n-1} \beta + \cdots + \alpha\beta^{n-1} + \beta^n.$$

Estas fórmulas son simplemente diferentes, tan pronto como $n > 1.$ La recursividad dado en la pregunta se describe la segunda y no la primera.

Answer 2

El error es reconocido y corregido en la fe de erratas para la tercera impresión:

http://People.Reed.edu/~Jerry/MF/mferrata3.pdf