¿Dónde vive el triángulo genérico?

Question

Esta es una reformulación de la pregunta la Caracterización de los triángulos unembeddedly.

Motivación 1: no Hay tal cosa como un grupo genérico. En la categoría de teoría, esto se hace mediante la construcción de la "teoría" del grupo, que es una categoría en una determinada doctrina. Functors (en esa doctrina) para Establecer, o más generalmente, cualquier topos, son los grupos. La más elemental de estas teorías (como usualmente se ve) es el Lawverean teoría algebraica de los grupos. Esta teoría es una categoría que contiene un objeto y las operaciones de lo que es un objeto de grupo en esa categoría, y la teoría es el más pequeño de la categoría que contiene todos los límites finitos. Hay más elaborado, el más lujoso es la clasificación de los topos para grupos, que es, en cierto sentido, la inicial de topos-con-el objeto de grupo. Ya que en un topos, que tiene la plena escala de primer orden intuitionistic lógica, la clasificación de los topos para grupos permite razonar sobre el grupo genérico dentro de la clasificación de los topos y los teoremas que demuestran será cierto para todos los grupos. (Esto es sólo una aproximación de la situación actual.) En particular, no se puede probar es abelian y no se puede probar que no lo es; la lógica claramente no tiene medio excluido.

Motivación 2: Usted puede probar que un triángulo tiene dos ángulos que son iguales deben ser isósceles (dos lados iguales). Usted puede hacer esto con Vilano' prueba: Mira el triángulo, la vuelta a la perpendicular desde el ángulo extraño para el otro lado, la mire de nuevo, y el lado-ángulo-lado teorema muestra que el "dos" triángulos son congruentes, entonces los dos lados deben ser iguales. Esta me parece ser cierto sin necesidad de que el postulado paralelo. Por lo que el teorema y la prueba debe ser cierto, no sólo en Euclidiana 2-espacio, pero en cualquier superficie de curvatura constante. (Aquí estoy entrando en el territorio sé muy poco acerca de, por lo que esta particular motivación que puede estar completamente equivocada.)

Así que lo que quiero es una clasificación de espacio de algún tipo que contiene el genérico triángulo de tal manera que los mapas de la orden correcto para cualquier superficie de curvatura constante son triángulos, y por lo que Vilano' prueba puede llevarse a cabo en la clasificación de espacio. El espacio no tiene que ser un topos o categoría. No tengo ni idea a qué tipo de estructura sería.

Nota 1: hasta el Lawvere la teoría de los grupos tiene su propia lógica interna, en este caso la lógica ecuacional. Ciertamente, usted no puede probar que el grupo genérico es o no es abelian con la lógica ecuacional.

Nota 2: no parece razonable para mí que Vilano' la prueba de trabajo en una superficie con curvatura variable. Pero tal vez hay algún truco para definir "ángulo mod curvatura", que sería la verdadera.

Nota 3 agregado 3 de diciembre de 2009: Una manera de reformular mi pregunta es: ¿Cómo se puede dar una adecuada definición general de "triángulo que permite Vilano "prueba". Los comentaristas que le pidió "que la definición de triángulo que están utilizando" a perder el punto: estoy pidiendo una definición. La investigación matemática comúnmente consiste en tratar de encontrar la definición correcta para hacer su intuitiva prueba de trabajo. Preguntas como la que pertenecen en MathOverflow y no debe ser criticado por no ser "bien formulada". (Por supuesto, muchas preguntas de este tipo podría haber sido resuelto por mirar en la Wikipedia o en el pensamiento durante cinco minutos, y que merece ser criticado.)

Answer 1

Existe cierta confusión acerca de la pregunta, así que voy a intentar contestar a una pregunta similar que creo que es estrictamente análoga a la suya, pero más fácil. Si usted puede confirmar que la pregunta que me abordar realmente es análoga a la suya, y que la respuesta es el tipo de respuesta que usted está buscando, entonces tal vez eso va a ayudar a preparar el terreno para alguien para responder a su pregunta.

Por lo tanto, vamos a suponer que usted estaba interesado en una mucho más rígidos tipo de geometría, de modo que un triángulo se compone de tres conjunto de segmentos de línea recta. No habrá curvatura involucrados.

Formalmente, podemos trabajar con afín a los espacios, y definir un triángulo en un espacio afín $A$ es una ordenó el triple de puntos en $A$. Por supuesto, nos imaginamos que los tres puntos se unieron, pero que no será parte de la formalismo.

Un triángulo genérico es un espacio afín $P$ equipada con un triángulo $(p_1, p_2, p_3)$, con la propiedad de que para cualquier espacio afín $A$ y el triángulo $(a_1, a_2, a_3)$$A$, no hay una única afín mapa de $f: P \to A$ tal que $$ (f(p_1), f(p_2), f(p_3)) = (a_1, a_2, a_3). $$ El espacio afín $P$ es lo que llaman la clasificación de espacio en tu pregunta.

Es fácil ver que sí existe un genérico triángulo (y por la universal de los bienes, el único hasta el isomorfismo). En efecto, podemos tomar $P$ a cualquier bidimensional afín espacio y $p_1, p_2, p_3$ a ser tres affinely puntos independientes de $P$.

Por supuesto, usted sabe todo esto, Serafín de Seis Alas. Pero el punto de decir que es preguntar: ¿es este el tipo de respuesta que desea, en la configuración más avanzada que usted describe?

Answer 2

El genérico triángulo vive en un subconjunto de esta función de espacio de $Axioms^{Languages}$.

¿A qué me refiero? En primer lugar, vamos nosotros lo que es genérico de la suma? Inmediatamente, usted me pida, además de que el número de sistema? Los números naturales, enteros o qué? Correctamente, entonces, uno sólo puede decir que para cada (semi)anillo de $R$, además se especifica como un subconjunto de a $R^{R\times R}$.

Ahora invoco esta dualidad: principio de las Operaciones en la teoría de números son análogos a los objetos de la geometría. Los objetos en la teoría de números son análogas a las operaciones en la geometría.

Una de las razones por las que esta pregunta por Seis Serafín Alado es tan difícil (y muy interesante) es que debemos pensar en el objeto "triángulo" de la geometría como análoga a la operación "suma" en la teoría de números. Nosotros no debe pensar en el "triángulo" como análoga a la del número "$n$". Es fácil decir cuando el genérico número "$n$" vive en: a saber, el conjunto de los números naturales ${\mathbb{N}}$! (o cualquiera que sea el número de sistema que usted podría estar considerando) Esta es una pregunta fácil como ¿de dónde viene el genérico rotaciones, dilataciones y reflexiones en vivo en: es decir, la Mentira de grupo $Isom({\mathbb{R}}^2)$? (o ${\mathbb{H}}^2$ o ${\mathbb{S}}^2$ dependiendo de la constante de la curvatura del espacio que usted está considerando.)

El "triángulo" la pregunta es difícil porque lo que usted puede fijar sobre un triángulo genérico es que no lo es, pero lo que puedes hacer con él. Es decir, los axiomas. Utilizando el principio de dualidad de nuevo, hemos de precisar lo que además es de los axiomas, no sólo los axiomas de la suma, pero también cómo la multiplicación interactúa con él. Está usted interesado en declaraciones como $23+34=57$, $n+n=2n$ etc? Sólo en la medida en que estas declaraciones forman parte de la completa infinidad de teoremas a partir de la cual puede ser generada por los axiomas.

En forma similar, para cada uno de curvatura constante de avión, los axiomas que rigen la reflexión, los axiomas que proporcionen congruencia de los criterios, Vilano " prueba se genera a partir de estos axiomas.

Como un último refinamiento, también se podría considerar la posibilidad de triángulos en otros no-espacios de curvatura constante. Como además puede ser considerado para espacios vectoriales o grupos, no sólo los anillos. En este caso, la respuesta completa es que para cualquier idioma en el que los triángulos se puede hablar, hay una correspondiente axiomatization de lo que se puede hacer con triángulos.

Por ejemplo, el Vilano es la prueba para el primer fin de axiomatization de (no)-la geometría Euclidiana. Existen diferentes pruebas para el avión como una de Riemann colector (a través de la integración), etc. Para cada uno de estos axiomatizations, tenemos una noción de triángulo.

Answer 3

Mientras eso sucede, el klein hiperbólico modelos, la costumbre plano euclidiano, y la proyección central para proyectiva del espacio, todos tienen geodesics que se ven como líneas rectas; por otro lado, estos mapas no puede ser de conformación, por lo que es difícil hablar acerca de cómo tratar a los ángulos.

De manera más general, puede especificar un mapa entre dos (bastante pequeño) geodésico de triángulos, que requieren que se conservan dos transversal geodésica particiones; pero, a continuación, lo que le hace a cualquier otro geodesics es una incógnita.

Sospecho más bien que esto no es resolver tu pregunta, sin embargo.