Probar que existe un número divisible por 1999 con la suma de dígitos de 1999

Question

Mi sobrino en la escuela secundaria me preguntó cómo resolver el problema como se indica en el título. Honestamente, no tengo idea de cómo hacerlo:

Probar que existe un número entero positivo tal que, 1999 divide, y la suma de todos sus dígitos es también de 1999.

¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre cómo resolverlo? Cualquier ayuda se agradece mucho!

Gracias!

Answer 1

Debido a $10$ es coprime a $1999$ existe un entero positivo $k$ tal que $10^k\equiv1\pmod{1999}$. De ello se desprende que $1,10^k,10^{2k},10^{3k},\ldots,$ dejar resto $1$ cuando se divide por $1999$. Por lo tanto, el número de

$$S=1+10^k+10^{2k}+\cdots+10^{1998k}$$ es divisible por $1999$. Además, la expansión decimal de $S$ $1999$ y para el resto de sus dígitos son todos ceros.

Answer 2

Aquí hay otra solución.

Tenga en cuenta que $1999$ suma de dígitos $28$, mientras que $2 \cdot 1999 = 3998$ suma de dígitos $29$. Desde $28$ $29$ son relativamente primos, y $1999 > 28 \cdot 29 - 28 - 29$, $1999 = 28a + 29b$ para algunos $a, b > 0$ (ver Chicken McNugget Teorema). A continuación, sólo encadenar $a$ copias de $1999$, seguido por $b$ copias de $3998$: $$\underbrace{199919991999 \cdots 1999}_{\text{ copia } 1999} \underbrace{399839983998 \cdots 3998}_{b \text{ copia } 3998}.$$ Esto es claramente divisible por $1999$, y su dígito de la suma es $28a + 29b = 1999$.

Answer 3

A partir de 11,111:
1...1 (n veces) * 1999 = 2221..10889 con n-4 "1" en los resultados (=2,221...*10^(n+3)).
por ejemplo,

• 11,111 * 1999 = 22,210,889
• 111,111 * 1999 = 222,110,889, y así sucesivamente

Prueba: supongamos que es cierto para n (es cierto para n=5, 6 arriba), para n+1:
1.11. * 10^(n+1) * 1999 =
1.11. * 10^n * 1999 + 10^(n+1) * 1999 =
2.221.. * 10^(n+3) + 1.999 * 10^(n+4) =
2.2211.. * 10^(n+4) lo que había que demostrar.
Donde 1.11. * 10^n representa el número que consta de n+1 "1" y 2.221.. * 10^n representa el número descrito anteriormente.

Suma de los dígitos de 22,210,889 es de 32 años y se incrementa en uno cada paso.
2221..10889 (1968 "1" dígitos) tiene la suma de los dígitos de los años 1999 y es divisible entre 1999 como es igual a la de 1999 * 1..1 (que consta de 1972 "1")