Una pregunta sobre los valores absolutos no arquimédicos

Question

No entiendo una ecuación que estoy leyendo en mis notas:

Supongamos, $|\cdot |$ es un valor absoluto no arquimédico en un campo $K$ completa con respecto a este valor absoluto. Supongamos, $|a_0|>|a_i|$ para todos $i>0$ . Entonces, $|a_0+a_1+a_2+...|=|a_0|$ . Entiendo que $|a_0+a_1+a_2+...|\leq max\{|a_i|:i\geq 0\}=|a_0|$ por la desigualdad ultramétrica. No estoy seguro de cómo obtener la desigualdad inversa.

Answer 1

Dejemos que $a = \sum a_i$ . Puede aplicar el argumento a $a_0 = a- (a_1 + \dots + a_n)$ . Tenemos entonces que $$ |a_0| \leq \max(|a|, |a_1 + \dots a_n|) = |a|$$ porque $|a_0|$ es mayor que $|a_1 + \dots + a_n|$ y, en consecuencia, el segundo término no puede contribuir al máximo. Esto implica que $|a| \geq |a_0|$ que es la desigualdad inversa que querías.

Answer 2

$\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\jleq}[1]{\justifyed{#1}{\leq}} \newcommand{\jeqtxt}[1]{\jeq{\text{#1}}} \newcommand{\jl}[1]{\justifyed{#1}{<}} \newcommand{\justifyed}[2]{\stackrel{#1}{#2}} \newcommand{\jeq}[1]{\justifyed{#1}{=}} \newcommand{\jleqref}[1]{\jleqtxt{\ref{#1}}} \newcommand{\jeqref}[1]{\jeqtxt{\ref{#1}}} \newcommand{\jleqtxt}[1]{\jleq{\text{#1}}} \newcommand{\df}{\mathrel{\mathop:}=} \newcommand{\norm}[1]{\left|#1\right|}$ Principio del triángulo isósceles: Dejemos que $\norm{\cdot}$ sea una norma no arquimédica sobre un campo $\mathbb{F}$ . Entonces $\forall\ x,y\in\mathbb{F}$ con $\norm{x}<\norm{y}$ sostiene que $\norm{x+y}=\norm{y}$ .

Prueba: Dejemos que $x,y\in\mathbb{F}$ con $\norm{x}<\norm{y}$ . Ahora calculamos \begin {align} \norm {x-y} \jleqtxt {no-Arch.} \max\set { \norm {x}, \norm {y}}= \norm {y}= \norm {x-(x-y)} \jleqtxt {no-Arch.} \max\set { \norm {x}, \norm {x-y}}. \end {align} De esta ecuación obtenemos que $\norm{y}\leq\max\set{\norm{x},\norm{x-y}}$ pero como asumimos $\norm{x}<\norm{y}$ tenemos que $\norm{y}\nleq\norm{x}$ así que $\max\set{\norm{x},\norm{x-y}}=\norm{x-y}$ en realidad. Junto con la ecuación anterior, obtenemos que $\norm{x-y}=\norm{y}$ .

Observación: El nombre "Principio del Triángulo Isósceles" proviene de la interpretación geométrica: Si $x$ y $y$ son dos puntos de un triángulo cuyo origen es $0$ como su tercer punto, los lados tienen la longitud $x$ , $y$ y $x-y$ . El principio dice entonces que el tercer lado es tan largo como el más largo de los otros, por lo que todo "triángulo" es isósceles con respecto a una norma no arquimédica.

Lema: Dejemos que $\norm{\cdot}: \mathbb{F}\rightarrow\mathbb{R}_{\geq 0}$ sea una norma no arquimédica y sea $\forall\ i\in \set{0, \ldots, n}: a_i\in\mathbb{F}$ . Si $\forall\ 0<i\leq n: \norm{a_0}>\norm{a_i}$ sostiene que $\norm{\sum_{i=0}^n a_i}=\norm{a_0}$ .

Prueba: Demostramos esta afirmación por inducción. Para $n=0$ la afirmación es trivial. Supongamos ahora que la afirmación se demuestra para $n$ y que $a_{n+1}\in\mathbb{F}$ con $\norm{a_0}>\norm{a_{n+1}}$ . Ahora, establece $x\df a_{n+1}$ y $y=\sum_{i=0}^n a_i$ y ten en cuenta que: $$ \norm{y}\jeqtxt{I.H.}\norm{a_0}>\norm{a_{n+1}}=\norm{x} $$ y podemos aplicar el Principio del Triángulo Isósceles (PTI): $$ \norm{\sum_{i=0}^{n+1} a_i}=\norm{\sum_{i=0}^{n} a_i + a_{n+1}} = \norm{x+y}\jeqtxt{ITP}\norm{y}=\norm{\sum_{i=0}^n a_i}\jeqtxt{I.H.}\norm{a_0}.$$