Convergencia/divergencia de la serie con términos $2^{n}\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n^{2}} $ y $\sin (n)\sin \frac{x}{n}$

Question

Ayudarme por favor con estas 2 preguntas:

1 ¿convergen o divergen? : $$ \sum_{n=2}^{\infty }2^{n}\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n^{2}} $$

2 revisa la convergencia absoluta y condicional de: $x>0 $

$$ \sum_{n=1}^{\infty }\sin (n)\sin \frac{x}{n} $$

¡Muchas gracias!

Answer 1

Pista 1:

Por lo suficientemente grande $n$, $(\frac{n}{n+1})^n = (1 - \frac{1}{n+1})^n \le c$ para algunos $ 0 \lt c \lt \frac{1}{2}$. Por qué?

Ahora tratando de usar la anterior para demostrar que la serie converge.

Para la parte 2, yo creo que se puede usar la de Dirichlet de la Prueba para demostrar la convergencia.

Para demostrar que la serie no converge absolutamente, el uso de $\sin (x/n) \ge x/2n$ para suficientemente grande $n$ y utilice el hecho de que al menos uno de $n$, $n+1$ es más que $\frac{1}{2}$, lejos de los múltiples de $\pi$ que es la más cercana a ellos.

Answer 2

Parte 2

Como se indica en Aryabatha la respuesta, la convergencia de las $\sum(\sin n)\sin(x/n)$ sigue de Dirichlet de la prueba: $\sin(x/n)$ es eventualmente disminuir, converge a $0$ y las sumas parciales $\sum_{k=1}^n\sin k$ son acotados. Para demostrar que no converge absolutamente, utilice las desigualdades $$ \sin x\ge \frac{2\,x}\pi,\quad|\pecado n|\ge\sin^2n=\frac{1-\cos(2\,n)}{2}. $$ Entonces $$ |(\sin n)\sin\Bigl(\frac{x}{n}\Bigr)|\ge\frac{x}{\pi}\Bigl(\frac1n-\frac{\cos(2\,n)}{n}\Bigr). $$ De nuevo por Dirichlet'e prueba de $\sum_{n=1}^\infty\cos(2\,n)/n$ converge. En particular, existe una constante $A>0$ tal que $\Bigl|\sum_{k=1}^n\cos(2\,n)/n\Bigr|\le A$ todos los $n$. Entonces $$ \sum_{k=1}^n|(\pecado k)\sin\Bigl(\dfrac{x}{k}\Bigr)|\ge\frac{x}{\pi}\Bigl(\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac{\cos(2\,n)}{n}\Bigr)\ge\frac{x}{\pi}(\log(n+1)-A). $$