Ecuación diferencial funcional $D'(t) = 2 D(2t) - D(t)$

Question

¿Puede resolverse la ecuación diferencial funcional $$D'(t) = 2 D(2t) - D(t)$ $ $D(0)=0$ de la condición inicial de forma cerrada? Una transformación de Laplace rinde la ecuación funcional $$ (s + 1) d(s) = d(s/2) $$, pero esta ecuación parece mal educado ($d(0)$ indeterminada).

Answer 1

Hay soluciones de la serie

$$ \eqalign{d(t) & = c \left (e ^ {-t} - 2 e ^ {-2t} + \frac{4}{3} e ^ {-4t}-\frac{8}{21} e ^ {-8t} + \ldots\right)\cr & = \sum_{k=0}^\infty \frac c {(-2) ^ k} {\prod_{j=1}^k (2 ^ j-1)} e ^ {-2 ^ kt} \cr} $$

que todos tienen $d(0) = 0$. Estos deben converger para $t \ge 0$.

Answer 2

Serenémonos la condición inicial y buscar una solución de la forma

$$ D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \exp(-2^k t). $$

Conectando a la ecuación, y suponiendo que el término sabio diferenciación se aplica, nos encontramos con que $(a_k)$ satisface la relación de recurrencia $ (1-2^k) a_k = 2a_{k-1}$, cuya solución puede ser escrito en términos de la $q$-símbolo de Pochhammer:

$$ a_k = \begin{cases} \dfrac{2^k}{(2,2)_k} a_0, & k \geq 0 \\ 0, & k < 0 \end{cases} $$

Por consiguiente, podemos escribir

$$ D(t) = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{(2;2)_k}\exp(-2^k t) $$

para algunas constantes $a$.

p.s. Como ha señalado Robert Israel, estas soluciones en efecto satisfacer la condición inicial $D(0) = 0$ (que no me esperaba antes de ver su respuesta). Aquí es una simple confirmación:

\begin{align*} D(0) &= a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{(2;2)_k} \\ &= a \left(1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k - 1}{(2;2)_k} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2;2)_k} \right) \\ &= a \left(1 - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2;2)_{k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2;2)_k} \right) \\ &= 0. \end{align*}