Demostrar

Question

por lo que sé es necesario demostrarlo por inducción, pero estoy un poco atrapado. Aquí es lo que hace hasta ahora.

Que $p(n) = (n+1)!^n \le 2!\cdot4!\cdot\ldots\cdot(2n)!$

1. $p(2) = 3!^2\le 2!\cdot4!$
2. Asumir $p(n)$ es cierto.
3. Prueba $p(n+1)$
4. $p(n+1) = (n+2)!^{n+1}\le 2!\cdot4!\cdot\ldots\cdot(2n+2)!$

$$\begin{align*} &=(n+2)!^n\cdot(n+2)!\le\ldots\\ &=(n+1)!^n\cdot(n+2)^n\cdot(n+2)!\le\ldots \end{align*} $$

Dado que el $(n+1)!^n\le 2!\cdot4!\cdot\ldots\cdot(2n)!$ (utilizando hipótesis inductiva)

$$\begin{align*} &=(n+2)^n\cdot(n+2)!\le(2n+2)!\\\\ &=(n+2)^n\le\frac{(2n+2)!}{(n+2)!} \end{align*} $$

Y estoy atrapado aquí. Ayuda que alguien puede dar sería útil.

Answer 1

Para 4, $p(n+1)$ una declaración, no es un término, por lo que no debe establecerse igual a algo. $=$ Debe ser la equivalencia lógica. Intenta demostrarlo $p(n) \implies p(n+1)$ nit con su presentación, pero es un concepto importante.

Bajo 4, tiene $(n+1)^n \le \prod_{i=1}^{n}(2i)!$ y desea probar $(n+2)^{n+1} \le \prod_{i=1}^{n+1}(2i)!$. Dividiéndolas queremos probar $\left(\frac {n+2}{n+1} \right)^n(n+2)\le(2n+2)!$ el primero paren en la izquierda es menor que $e$ así que si usted tiene $n$ grande bastante usted allí.

Answer 2

Puesto que han alcanzado $ (n+2)^n.(n+2)! < (2n+2)! $, llevará de aquí.

De esto podemos observar que hay ' n ' número de $(n+2)$ términos en el lado izquierdo.

fácilmente podemos concluir que:

$(n+2) < (n+3)$ ---> $1st (n+2)$

$(n+2) < (n+4)$ ---> $2nd (n+2)$

.. .y así sucesivamente hasta

$(n+2) < (n+n+2)$ ---> $nth (n+2)$

Por lo tanto, podemos decir claramente que $(n+2)^n.(n+2)! < (n+3).(n+4)....(2n+2).(n+2)!$

=>$(n+2)^n.(n+2)! < (2n+2)!$

¡Espero que la respuesta es clara!