Demostrar que dos números cualesquiera de la forma $2^{2^n}+1$ son coprimas entre sí.

Question

Planteamiento completo del problema:

Demuestra que dos números cualesquiera de la siguiente secuencia son relativamente primos:

$2 + 1, 2^2+1, 2^4 + 1, 2^8+1, ... 2^{2^n} + 1 $

Hasta ahora he intentado utilizar el algoritmo de Euclides con la inducción matemática. También he demostrado que el 3 es coprimo de cualquier número de la sucesión, y he intentado utilizar la inducción (utilizando n = 0, es decir, el 3, como caso base, y demostrando que la misma propiedad debe ser cierta para el 5, el 17, etc.)

Answer 1

Una pista: Supongamos que $m\lt n$ . Entonces $2^{2^m}+1$ divide $2^{2^n}-1$ . Para dejar $x=2^{2^m}$ . Entonces $2^{2^n}-1=x^{2^k}-1$ , donde $k=n-m$ .

Observación: Este resultado da una buena prueba de que hay infinitos primos. Sea $F_n=2^{2^n}+1$ y que $q_n$ sea el menor divisor primo de $F_n$ . Entonces por el resultado de la OP, todos los $q_n$ son distintos.

Answer 2

Sugerencia $\rm\,\ \ \ \ \gcd(c+1,\ c^{2k}\!+1)\ =\ gcd(c+1,\:2),\ $ utilizando $\rm\,\ gcd(a,b) = gcd(a, b\ mod\ a)$

Prueba $\rm\ \, mod\,\ c+1\!:\,\ \color{#c00}{c\equiv -1}\ \Rightarrow\ \color{#c00}c^{2k}\!+1\: \equiv\ (\color{#c00}{-1})^{2k}\!+1\:\equiv\ 2\ \ $ QED

Para $\rm\ c=2^{\Large 2^{A}} $ tenemos $\rm\ c^{\Large 2k} = 2^{\large 2^{B}}\ $ para $\rm\ 2k\, =\, 2^{\,B-A},\ $ por lo que lo anterior da como resultado

$\rm\qquad\ gcd(2^{\Large 2^{A}}\!+1,\, 2^{\Large 2^{B}}\!+1)\ =\ gcd(2^{\Large 2^{A}}\!+1,2) \,=\, 1\ $ para $\rm\ B > A$

Answer 3

Una pista.

1. Definir una secuencia $F_n$ recursivamente por $F_n=F_0F_1\cdots F_{n-1}+2$ y $F_0=3$ .

2. Demostrar por inducción que $F_n$ es impar.

3. Concluir que los números $F_n$ son relativamente primos por parejas.

4. Demostrar por inducción que $F_n=2^{2^n}+1$ . Spoiler:

Suponiendo que $F_n=2^{2^n}+1$ entonces

$F_{n+1}=(F_0F_1\cdots F_{n-1})F_n+2$

$=(F_n-2)F_n+2$

\= $(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)+2$

\= $(2^{2^n})^2-1+2$

$=2^{2^{n+1}}+1$ .