Demostrar que $\left(\left\{\sqrt{x^4+18x^2+162}\right\}\right)$ es una secuencia estrictamente decreciente

Question

Demostrar que $\left(\left\{\sqrt{x^4+18x^2+162}\right\}\right)$ es una secuencia estrictamente decreciente donde $x \in \mathbb{Z}^+$ después de algún momento. Nota: $\{r\}$ denota la parte fraccionaria de un número real $r$ .

Para demostrar esto, debemos mostrar que para todo $x$ tenemos $$\left\{\sqrt{x^4+18x^2+162}\right\} > \left\{\sqrt{(x+1)^4+18(x+1)^2+162}\right\}.$$ ¿Cómo lo demostramos?

Answer 1

Paso 1. Pruebe

$$x^2+9<\sqrt{(x^2+9)^2+9^2}<x^2+10$$

La desigualdad de la izquierda es obvia, la de la derecha también es cierta para $x>5$ que también es trivial de mostrar.

Así que tienes $\lfloor\sqrt{(x^2+9)^2+9^2}\rfloor=x^2+9$

Paso 2. Escribe:

$$\left\{\sqrt{(x^2+9)^2+9^2}\right\}=\sqrt{(x^2+9)^2+9^2}-\sqrt{(x^2+9)^2}=\frac{9^2}{\sqrt{(x^2+9)^2+9^2}+\sqrt{(x^2+9)^2}}$$ que está disminuyendo

Se puede demostrar que los 6 primeros términos son decrecientes por cálculo directo.

EDIT: He comprobado por cálculo directo, y los 6 primeros términos de la sucesión no decrecen, pero la sucesión decrece después del 6º término, como se ha demostrado anteriormente

0.45362404707370985
0.8113883008418963
0.12461179749810825
0.5706605111728464
0.17101079013794873
0.8911756223350622
0.6941223633167581
0.5527021937331682
0.4488805900880095
0.3709284956473198