Clases de Chern de un paquete de Trivial

Question

Podría alguien explicarme ¿por qué las clases de chern de un paquete trivial son cero? (Yo estoy estudiando del libro Bott & Tu) Para ser más específicos no puedo entender por qué, dado el vector paquete $E$ $M$, debe ser $C_1(S^*_E)^n=0$. $S^∗_E$ es el doble de la subbundle tautológica de la retirada de $E$ $P(E)$.

Answer 1

Esta es una consecuencia trivial de la connaturalidad (o functoriality) de las clases de Chern, la cual debe ser clara, no importa que la definición de las clases de Chern de que usted está utilizando.

Fijar un espacio de $X$. Deje $P$, un punto del espacio, y deje $E \rightarrow P$ ser el trivial $n$-dimensiones vectorial complejo paquete. No hay un único mapa de $f : X \rightarrow P$, y es fácil ver que el trivial $n$-dimensiones vectorial complejo paquete de más de $X$ es exactamente el pullback $f^{\ast}(E) \rightarrow X$. Todas las clases de Chern de $E \rightarrow P$ tienen que ser trivial desde el cohomology grupos de $P$ son triviales. Por lo tanto, por la connaturalidad de Chern clases que hemos $$c_i(f^{\ast}(E)) = f^{\ast}(c_i(E)) = 0.$$

Answer 2

Supongo que usted está buscando un no-respuesta técnica, que de alguna manera va a decir que el intuative razón de por qué las clases de Chern de un trivial bundle son cero sin entrar en cálculos en serio. No te prometo que esta será la respuesta, pero nos va muy bien hacer nuestro mejor esfuerzo. Para el registro, lo que yo te digo tiene sentido en la algebraica y analítica de las categorías. Creo que se hace así en la lisa, pero yo no apostaría mi vida en ella.

Para la instalación, voy a tomar mis colector $X$ para ser compacto y liso, y voy a tomar un suave vector paquete de $E \to X$ más. Ahora, ¿cuáles son las clases de Chern de el paquete de $E$ realmente?

Supongamos que tenemos una sección de $\sigma$ de el lote a $E$ y supongamos también que la sección $\sigma$ no es la sección cero, pero que todavía tiene algunos ceros. A continuación, se puede considerar que la subvariedad $(\sigma)_0$ de los puntos de $X$ cuando la sección $\sigma$ es cero. Esta subvariedad define un cohomology de clase en $X$; es más fácil definir por la dualidad, que es simplemente la integración de formas diferenciales que representan diferentes clases en la subvariedad $(\sigma)_0$.

Este cohomology de la clase es la primera clase de Chern el vector paquete de $E$. Así, la primera clase de Chern de medidas, en algún sentido, como "a menudo", una sección general de $E$ es cero.

Para conseguir una sensación para la segunda clase de Chern, tomar dos secciones $\sigma_1$$\sigma_2$$E$. Localmente estos son sólo los vectores en un espacio vectorial, por lo que puede ser colinear o no. Deje $(\sigma_{12})$ ser la subvariedad de $X$ que consta de los puntos en donde las secciones $\sigma_1$ $\sigma_2$ son colinear. Esta subvariedad de nuevo define un cohomology de la clase, que es exactamente la segunda clase de Chern de $E$.

Lo mismo ocurre por la mayor de las clases de Chern. Intuitivamente, el $k^{th}$ clase de Chern de un vector paquete de medidas, en cierto sentido, cómo "lo más probable" es que el $k$ genérico secciones del paquete son linealmente dependientes.

Me han dicho que este es más o menos el original de la definición histórica de las clases de Chern. Este punto de vista se exponen en gran detalle en un próximo libro de Harris y Morrison llamado "Intersección de la teoría". Hasta que el libro sale, Harris habla mucho en sus conferencias disponibles aquí: http://mate.dm.uba.ar/~visita16/ELGA-2011/versión/v1/imágenes-es.shtml

Ahora, esto es relevante para nuestros intereses. En efecto, supongamos que el vector paquete de $E$ es trivial, o $E = \mathbb R^r$. Entonces de alguna manera es claro que tenemos una increíble cantidad de espacio en el que caben nuestras secciones, ya que no hay mundial obstáculos provenientes de la estructura del paquete en sí. En vagos pero sugerente términos, podemos tomar un marco global, o de la base, de nuestro vector paquete. Si necesitamos encontrar $k$ linealmente independientes secciones del paquete, se $k$ primeros vectores de la base. Estos son linealmente independientes en todas partes, por lo tanto la subvariedad que define el $k^{th}$ Chern de la clase está vacía, por lo que el $k^{th}$ Chern clase del paquete es igual a cero.

Todo esto fue increíblemente impreciso. Yo sugiero que busque en Harris' lectures para obtener una mejor idea de lo que está pasando.

Answer 3

Menos racional se puede también ver esto fácilmente desde cualquier paquete trivial admite una conexión plana. Pero luego por la teoría de Chern Weil que cualquier clase de chern ha de ser cero, ya que puede ser computado en términos de la curvatura que es $0$ en nuestro caso.