Teorema del Valor Medio de Cauchy. ¿Qué podemos decir sobre $c$ con más información?

Question

Mi pregunta es acerca del teorema del valor medio de Cauchy que establece:

Si las funciones f y g son ambas continuas en el intervalo cerrado [a, b], y diferenciables en el intervalo abierto (a, b), entonces existe algún c (a,b), tal que \begin{align*} (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) \end{align*}

Por lo que entiendo, encontrar $c$ no es tan trivial y podría no ser único. Aquí están mis preguntas. Para $f \neq g$

1) ¿Bajo qué condiciones en $g$ y $f$ es $c$ único? Por ejemplo, ¿es suficiente la monotonicidad o la concavidad?

2) Si damos más información sobre $g$ y $f$. ¿Podemos decir más acerca de la ubicación de $c$ en el rango $(a,b)$? Por ejemplo, si $g$ y $f$ son no negativos y $g'',f''> 0$, ¿qué podemos decir entonces? * Por ejemplo, ¿es cierto que si $f$ y $g$ son cóncavas entonces $ c \in( \frac{b+a}{2},b)$

Hojeé varias referencias pero no pude encontrar nada concreto sobre c basado en las propiedades de $f$ y $g$?

Gracias por cualquier ayuda de antemano. Además, cualquier referencia sería muy apreciada.

Editar: Como señaló @LeonAragones, la monotonicidad de $f,g$ no es suficiente para garantizar la unicidad de $c.

**Editar:** Por favor, responder a la primera parte de la pregunta de @san.

Answer 1

Los puntos $c$ dependen de la función $h(x):=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)$. Son los puntos donde $h'(c)=0. Por lo tanto, la concavidad debería ser requerida para $h$, no para $f,g$. Por ejemplo, toma $a=0$, $b=6\pi$, $f(x)=x^2+1$, $g(x)=x^2+1-sin(x)$. Luego, $f,g,f'',g''$ son positivos en el intervalo, sin embargo, debido a que $h(x)=(6\pi)^2 sin(x)$, tenemos $c_0,\dots,c_6$ con $c_k:=(2k+1)\frac{\pi}{2}$ tal que $h'(c_k)=0.

Entonces, si $h''(x)>0$ para todo $x$, o $h''(x)<0$ para todo $x$, entonces la solución es única, o más general, si $h$ es convexa o cóncava, la solución es única.

Con respecto a la segunda pregunta, la respuesta es no, no podemos decir nada sobre la ubicación de $c. "¿Es cierto que si $f$ y $g$ son cóncavos entonces $c\in (\frac{b+a}{2},b)$?" No, por ejemplo, toma $f=-x^2$, $g=-1/x-x$, $a=\frac 1{10}$ y $b=10$. Luego $f,g$ son cóncavos (incluso $h$ es cóncavo), pero la única solución $c=1\notin (\frac{b+a}{2},b)=(5\frac{1}{20},10).