Cálculo de radio de los círculos que son producto de intersecciones de círculo mediante polígonos

Question

Digamos que usted imagine un círculo con el radio de $R$ y que inscribir un polígono regular con $n$ lados en ella, cuyo lado sabemos que será entonces: $$a=2R*sin(\frac{180}{n})$$

A continuación, se dibuja un conjunto de círculos, de modo que en cada punto del polígono no es un círculo que tiene el radio de $R$. (Círculos azules)

Después de eso, usted, a continuación, dibuje otro conjunto de círculos que pasan por las intersecciones de los círculos en el primer set. (Círculos rojos)

Para $n=3$ tendría este aspecto:

El círculo verde es dos veces el tamaño de nuestro imaginado círculo, y también vemos que aquí sólo hay uno rojo círculo cuyo radio es la misma que la nuestra círculo imaginario en el que el polígono está inscrito.

Vamos a empezar a aumentar nuestro número de lados:

Así, cada dos o más lados que conseguir un nuevo círculo, y todos los demás aumentan de tamaño con el exterior se aproxima el círculo verde. Permite establecer, a continuación, $n$ a un 32 por ejemplo:

Pregunta

¿Cómo puede el la radio $r_m$ ($m=1,2,3...$) de la $m$th círculo rojo se calcula para un polígono con $n$ partes dentro del imaginario círculo de radio $R$? (Hay una Fórmula o expresiones que sirven?)

Gracias JeanMarie para responder a esta pregunta: $$ r_m= 2R \ \cos \frac{m\pi}{n} $$

Answer 1

El uso de la inversión (ver def. a continuación) con la inversión de un círculo el círculo verde. En el $n$th caso, los círculos serán transformados en un regular de n lados el polígono circunscrito con un vértice $V$ a distancia (consulte la figura) $\dfrac{10}{\cos\frac{\pi}{n}}$ desde el origen.

El inverso $V'$ de punto de $V$ por lo tanto será a una distancia $10 \ \cos \frac{\pi}{n}$ desde el origen.

Además, $V$, siendo en la intersección de los 2 lados, su imagen se $V'$ será en la intersección de las imágenes de estos lados, es decir, la intersección de 2 círculos.

La respuesta es así que la radio es $10 \ \cos \frac{\pi}{n} \ \ \ (1)$, que tiende a un 10 $n$ tiende a $\infty$.

Definición: Inversión wrt a un círculo con el centro $O$ y radio de $r$ (aquí se $r=10$) es no lineal de transformación para que la imagen de un punto de $P$ $P'$ tal que $O,P,P'$ alineados y $\vec{OP}.\vec{OP'}=r^2$.

Ver http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html

**Edit **: (Después de una minuciosa observación de la autora de la pregunta, la reescritura de esta parte). Está claro que la fórmula (1) da el radio del círculo que contiene la parte más externa de puntos de intersección de los círculos que están internamente tangente al círculo grande (radio 10).

El penúltimo nivel de los puntos de intersección se obtiene tomando sucesivamente, uno de cada dos de estos círculos tangentes, dando lugar, por la inversión a otro el polígono circunscrito (esperemos que no convexa como en la figura se dan) ; por lo tanto el mismo razonamiento que antes, terminará con un radio de $10 \ \cos \frac{2\pi}{n} \ \ \ (2)$. A continuación, vamos a tomar los círculos de 3 por 3, y, más generalmente,$k$$k$, ...

Así, la fórmula general es

$$R_k=10 \ \cos \frac{k\pi}{n} \ \ \ \ k=1\cdots(n/2-1)$$

Comentario: esta fórmula explica el 3D "interpretación" uno puede tener de su último gráficos como una vista desde arriba de un globo terrestre con parallels a una latitud de $\frac{k\pi}{n}.$

La figura: El caso de $n=8=2^3$ con los 3 polígonos tienen sus vértices en correspondencia, a través de la inversión, con el interesctions de las familias de los círculos.