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Intersección de conjuntos compactos

Tengo una breve pregunta sobre el teorema 2.36 de Baby Rudin.

El teorema es el siguiente:

Si $\{K_\alpha\}$ es una colección de subconjuntos compactos de un espacio métrico $X$ tal que la intersección de cada subcolección finita de $\{K_\alpha\}$ es no vacía, entonces $\bigcap K_\alpha$ es no vacía.

En realidad sigo la prueba de Rudin, pero todo el teorema me parece un poco contraintuitivo. Después de todo, es bastante fácil dibujar, digamos, tres conjuntos, $A$ , $B$ y $C$ tal que $A\cap B$ es no vacía, $A\cap C$ es no vacía, $B\cap C$ es no vacía, pero donde $A\cap B \cap C$ está vacía. Imagina, por ejemplo, que dibujas a conjuntos de círculos, $A$ y $B$ , uno encima del otro, donde la parte superior del círculo inferior se cruza con la parte inferior del círculo superior. A continuación, dibuja un conjunto más, $C$ La cola de la serpiente se cruza con el lado derecho del círculo inferior, se extiende un poco hacia fuera y se curva. $180$ grados (formando una especie de dona), y luego su "cabeza" se cruza con el círculo superior en el lado derecho (ojalá pudiera subir una foto - pero espero que entiendas el punto). A continuación, $A\cap B$ es no vacía, $A\cap C$ es no vacía, $B\cap C$ es no vacía, pero $A\cap B \cap C$ está vacía. Por lo tanto, si $A, B, C$ son compactas, ¿no sería entonces inválido el teorema?

Si alguien puede explicarme qué es lo que está mal en mi razonamiento anterior, ¡le estaría muy agradecido! ¿Es acaso que aquí se asume que $K_\alpha$ ¿se supone que es una colección de conjuntos inifinitos? Y en mi razonamiento anterior sólo uso $3$ ¿conjuntos?

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Si $A \cap B \cap C$ está vacío, entonces la condición que exige el teorema no se cumple (ya que $\{ A, B, C \}$ es una subcolección finita).

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Es $every$ ¿La intersección de una subcolección finita de sus tres conjuntos no es vacía?

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Qiaochu: ¡gracias! Eso es lo que pensé que podía ser mi error. David - en mi dibujo, sí.

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tooshel Puntos 475

Tal vez ayude pensar en una analogía con la definición de compacidad de la tapa abierta. Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita. Sin embargo, se pueden encontrar fácilmente ejemplos de conjuntos compactos que tienen una cubierta con 3 conjuntos abiertos, pero ninguna subcubierta con 2 conjuntos abiertos. (Por supuesto, trivialmente se pueden tener coberturas con 1 conjunto y ninguna subcobertura con 0 conjuntos).

La compacidad permite reducir una cubierta abierta a una cubierta abierta finita, o comprobar que una intersección de conjuntos cerrados es no vacía comprobando únicamente que toda intersección finita es no vacía (y aquí, es esto último cada que es la clave, como han señalado Qiaochu y David en los comentarios). En ambos casos, es una condición que reduce lo infinito a lo finito, a grandes rasgos. Pero esto no dice nada sobre la reducción de lo finito a lo finito más pequeño.

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¡Muchas gracias, Jonas! ¡Creo que ahora lo entiendo :)! Se agradece mucho.

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