Tengo una breve pregunta sobre el teorema 2.36 de Baby Rudin.
El teorema es el siguiente:
Si $\{K_\alpha\}$ es una colección de subconjuntos compactos de un espacio métrico $X$ tal que la intersección de cada subcolección finita de $\{K_\alpha\}$ es no vacía, entonces $\bigcap K_\alpha$ es no vacía.
En realidad sigo la prueba de Rudin, pero todo el teorema me parece un poco contraintuitivo. Después de todo, es bastante fácil dibujar, digamos, tres conjuntos, $A$ , $B$ y $C$ tal que $A\cap B$ es no vacía, $A\cap C$ es no vacía, $B\cap C$ es no vacía, pero donde $A\cap B \cap C$ está vacía. Imagina, por ejemplo, que dibujas a conjuntos de círculos, $A$ y $B$ , uno encima del otro, donde la parte superior del círculo inferior se cruza con la parte inferior del círculo superior. A continuación, dibuja un conjunto más, $C$ La cola de la serpiente se cruza con el lado derecho del círculo inferior, se extiende un poco hacia fuera y se curva. $180$ grados (formando una especie de dona), y luego su "cabeza" se cruza con el círculo superior en el lado derecho (ojalá pudiera subir una foto - pero espero que entiendas el punto). A continuación, $A\cap B$ es no vacía, $A\cap C$ es no vacía, $B\cap C$ es no vacía, pero $A\cap B \cap C$ está vacía. Por lo tanto, si $A, B, C$ son compactas, ¿no sería entonces inválido el teorema?
Si alguien puede explicarme qué es lo que está mal en mi razonamiento anterior, ¡le estaría muy agradecido! ¿Es acaso que aquí se asume que $K_\alpha$ ¿se supone que es una colección de conjuntos inifinitos? Y en mi razonamiento anterior sólo uso $3$ ¿conjuntos?
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Si $A \cap B \cap C$ está vacío, entonces la condición que exige el teorema no se cumple (ya que $\{ A, B, C \}$ es una subcolección finita).
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Es $every$ ¿La intersección de una subcolección finita de sus tres conjuntos no es vacía?
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Qiaochu: ¡gracias! Eso es lo que pensé que podía ser mi error. David - en mi dibujo, sí.
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Uhmm ha pasado un tiempo, así que no estoy al día, mis disculpas. ¿Pero a qué te refieres exactamente con 'Baby Rudin'? ¿Principios de análisis matemático de Rudin? ¿Cómo llegó a ser que ¿nombre?
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Thomas - así es. Pensé que Baby Rudin era un apodo bastante común para el libro en todo el mundo :).
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@Thomas: Sí, no conozco la historia del apodo ni dónde se ha extendido, pero he oído esto, y es en comparación con el de Rudin Análisis real y complejo que a veces se denomina "Papá Rudin" o "Papá Rudin" o algo similar.
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@Jonas: Lo que realmente me gusta de esto es que la calidad parece prevalecer (a veces). Hace, creo, 20 años, que mis alumnos y yo decidimos que los libros de Rudin son la primera opción a la hora de aprender Análisis Real, los fundamentos de la teoría de la medida y el análisis funcional. Todavía tengo sus libros y no los regalo. Es una sorpresa (y muy agradable) saber que siguen siendo populares :-)