Dadas $a,b,c,d>0$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=1$, prueba $a+b+c+d\ge a^3+b^3+c^3+d^3+ab+ac+ad+bc+bd+cd$

Question

Dado $a,b,c,d>0$$a^2+b^2+c^2+d^2=1$, demuestran $$a+b+c+d\ge a^3+b^3+c^3+d^3+ab+ac+ad+bc+bd+cd$$

La desigualdad puede escribirse en la forma condensada $$\sum\limits_{Sym}a\ge\sum\limits_{Sym}a^3+\sum\limits_{Sym}ab$$

Me dijeron que esta es una muy desigualdad para probar, pero he sido incapaz de hacerlo.

He intentado ingenuo cosas como multiplicar ambos lados por $a+b+c+d$, y la reescritura de $(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$, pero nada se ha desarrollado (y los cálculos fueron relativamente poco tiempo). También he intentado buscar inteligente de aplicaciones de Cauchy-Schwarz (que parece el camino a seguir) y AM-GM, pero nada brotado en mí.

Answer 1

Que $a+b+c+d=4u$, $ab+ac+bc+ad+bd+cd=6v^2$ y $abc+abd+acd+bcd=4w^3$.

Por lo tanto, $16u^2-12v^2=1$ y nuestra desigualdad es equivalente a $3v^6-4uv^2w^3+w^6\geq0$.

Por Teorema de Roll hay $x>0$, $y>0$ y $z>0$, para que

$x+y+z=3u$, $xy+xz+yz=3v^2$ and $xyz=w^3$.

Después de esta sustitución tenemos que demostrar

$\sum\limits_{cyc}(x^3y^3-x^3y^2z-x^3z^2y+x^2y^2z^2)\geq0$, que es de Schur.

Answer 2

Tengo algunas sugerencias de Quid Problema 3059, haga clic aquí para obtener más detalles=)

Basado en las sugerencias (que intenta relacionar la desigualdad con un problema de optimización restringida), trabajé en una prueba de la siguiente manera:

Tenemos \begin{align} \frac{1}{2}(a+b+c+d)^2=&\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2)+ab+ac+ad+bc+bd+cd\\ =&\frac{1}{2}+ab+ac+ad+bc+bd+cd \end{align} por supuesto. Por lo tanto, con el fin de demostrar la desigualdad, es equivalente a probar $$ a+b+c+d\geq a^3+b^3+c^3+d^3+\frac{1}{2}(a+b+c+d)^2-\frac{1}{2}. $$ Esto puede ser simplificado como la demostración de $$ a^3+b^3+c^3+d^3+\frac{1}{2}(a+b+c+d-1)^2\leq1.~~~~(*) $$ Ahora tratamos de maximizar la LHS, en virtud de la restricción, es decir, \begin{align} \max&~~f\triangleq a^3+b^3+c^3+d^3+\frac{1}{2}(a+b+c+d-1)^2\\ s.t.&~~a^2+b^2+c^2+d^2=1. \end{align} Ahora tratamos de utilizar el multiplicador de Lagrange método. Vamos $$ L=f+\lambda(a^2+b^2+c^2+d^2-1). $$ Tomar la derivada de $L$$a,b,c,d$, respectivamente, y dejar que la derivada igual a $0$ da el siguiente conjunto de ecuaciones: \begin{align} L_a=&a+b+c+d+3a^2+2a\lambda=1\\ L_b=&a+b+c+d+3b^2+2b\lambda=1\\ L_c=&a+b+c+d+3c^2+2c\lambda=1\\ L_d=&a+b+c+d+3d^2+2d\lambda=1, \end{align}

Observe que estas cuatro ecuaciones comparten exactamente la misma forma. Por lo tanto, cualquiera $$ 3x^2+2\lambda x=0,~~x=a,b,c,d,~~~~(case1) $$ o $$ a=b=c=d.~~~~(case2) $$ Vamos a analizar estos dos casos por separado:

Caso 1: En virtud de este caso, tenemos $$ a+b+c+d=1. $$ Desde $$ a^2+b^2+c^2+d^2=1, $$ la única posibilidad es uno de los cuatro elementos de la $a,b,c,d$ igual a $1$ y los demás son todos los $0$, lo que da $\lambda=-3/2$$f=1$.

Caso 2: Por la presunción de $$ a^2+b^2+c^2+d^2=1, $$ sigue $$ a=b=c=d=\frac{1}{2}, $$ que da $\lambda=-7/4$$f=1$.

Sobre todo, tenemos el máximo de $f$ $1$ y esto demuestra $(*)$.

Answer 3

en lugar de resolver este problema vamos a resolver una versión más simple de la misma :

Dados a,b>0 y a^2+b^2=1, demostrar

a+b≥a^3+b^3+ab

usted necesita usar lo que te han dado :

sabemos que a^2 + b^2 = 1

la adición de 2ab a ambos lados de la ecuación tenemos :

a^2 +b^2 + 2ab = 1 + 2ab

entonces :

(a+b)^2 = 1 + 2ab (1)

lo que tenemos que demostrar es que

a+b≥a^3+b^3+ab (2)

mediante la adición de 3a^2b + 3ab^2 a ambos lados de (2) tenemos :

a + b + 3a^2b + 3ab^2 ≥ a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 + ab (2)

(3ab+1)(a+b) ≥ (a+b)^3 +ab

el uso de (1) tenemos

(3ab+1)(a+b) ≥ (2ab+1)(a+b) +ab

(ab)(a+b) ≥ ab

a+b ≥ 0

declaración verdadera basada en la suposición de

así

a+b≥a^3+b^3+ab

podemos usar el mismo procedimiento para resolver el problema original en el caso de que :

a^2+b^2+c^2+d^2=1 (1)

y, a continuación, tratar de darle la vuelta a una ecuación que es más sencillo y fácil de usar en

ecuación de abajo

a+b+c+d≥a^3+b^3+c^3+d^3+ab+ab + ac+ad+bc+bd+cd (2)

así que añadiendo 2ab +2ac + 2cd + 2ad + 2bc + 2bd nos dirigimos (1) en

a^2+b^2+c^2+d^2 + 2ab +2ac + 2cd + 2ad + 2bc + 2bd = 1 + 2ab +2ac + 2cd + 2ad + 2bc + 2bd

(a+b+c+d)^2 = 1 + 2ab +2ac + 2cd + 2ad + 2bc + 2bd (3)

a continuación, usamos la ecuación (3) para simplificar la ecuación (2)

a+b+c+d
+ b^2 + c^2 + a*d^2 + 2a^2b +2a^2c + 2acd + 2a^2d + 2abc + ba^2+bc^2+bd^2 + 2ab^2 +2abc + 2bcd + 2abd + 2b^2c + 2b^2d+ ca^2+cb^2+cd^2 + 2abc +2ac^2 + 2c^2d + 2acd + 2bc^2 + 2bcd+ da^2+db^2+dc^2+ 2abd +2acd + 2cd^2 + 2ad^2 + 2bcd + 2bd^2 ≥ a^3+b^3+c^3+d^3+ab+ab + ac+ad+bc+bd+cd +

unab^2 + c^2 + a*d^2 + 2a^2b +2a^2c + 2acd + 2a^2d + 2abc +

ba^2+bc^2+bd^2 + 2ab^2 +2abc + 2bcd + 2abd + 2b^2c + 2b^2d+

ca^2+cb^2+cd^2 + 2abc +2ac^2 + 2c^2d + 2acd + 2bc^2 + 2bcd+

da^2+db^2+dc^2+ 2abd +2acd + 2cd^2 + 2ad^2 + 2bcd + 2bd^2 =

(a+b+c+d)^3 +ab+ab + ac+ad+bc+bd+cd =

(1 + 2ab +2ac + 2cd + 2ad + 2bc + 2bd ) ( a+b+c+d) +ab+ab + ac+ad+bc+bd+cd =

un + 2a^2b + 2a^2c + 2acd + 2a^2d + 2abc + 2abd +

b + 2ab^2 +2abc + 2bcd + 2abd + 2b^2c + 2b^2d+

c + 2abc +2ac^2 + 2c^2d + 2acd + 2bc^2 + 2bcd+

d + 2abd +2acd + 2cd^2 + 2ad^2 + 2bcd + 2bd^2+

+ab+ab + ac+ad+bc+bd+cd

a+b+c+d

• unab^2 + c^2 + a*d^2 + 2a^2b +2a^2c + 2acd + 2a^2d + 2abc +

ba^2+bc^2+bd^2 + 2ab^2 +2abc + 2bcd + 2abd + 2b^2c + 2b^2d+

ca^2+cb^2+cd^2 + 2abc +2ac^2 + 2c^2d + 2acd + 2bc^2 + 2bcd+

da^2+db^2+dc^2+ 2abd +2acd + 2cd^2 + 2ad^2 + 2bcd + 2bd^2≥

un + 2a^2b + 2a^2c + 2acd + 2a^2d + 2abc + 2abd +

b + 2ab^2 +2abc + 2bcd + 2abd + 2b^2c + 2b^2d+

c + 2abc +2ac^2 + 2c^2d + 2acd + 2bc^2 + 2bcd+

d + 2abd +2acd + 2cd^2 + 2ad^2 + 2bcd + 2bd^2+

+ab+ab + ac+ad+bc+bd+cd

después de la simplificación de llegar a una verdadera declaración de