Qué es el circunradio $R$ del gran disnub dirhombidodecaedro, o de la figura de Skilling?

Question

Los vértices de un poliedro uniforme todos se encuentran en una esfera. Por curiosidad, he mirado el circunradio $R$ de la $75$ poliedros (no prismas) en la lista (que asumió el lado $a=1$ ).

Para los irracionales $R$ Casi todos eran raíces de cuadráticos, cuárticos y unos pocos sextos que pueden factorizar sobre una raíz cuadrada: $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{11}$ (y sus combinaciones).

Pero había dos excepciones. Para el cubo de desprecio y el icosidodecadodecaedro fue sobre una raíz cúbica: $(19-3\sqrt{33})^{1/3}$ y $\big(\frac{27-3\sqrt{69}}{2}\big)^{1/3}$ . Así, su $R$ podría expresarse mediante el constante de tribonacci (raíz de $x^3-x^2-x-1=0$ ) y constante de plástico (raíz de $x^3-x-1=0$ ), respectivamente.

Sin embargo, si se relaja un poco la definición de poliedro uniforme, existe un $76$ th: el _gran disnub dirhombidodecaedro_ o la figura de Skilling,

$\hskip2.5in$

Q: Qué es el circunradio $R$ de la figura de Skilling con el lado $a=1$ ?

P.D. Esencialmente, estoy buscando un poliedro uniforme ( degenerado o no) tal que el polinomio mínimo de su $R$ factores sobre $\big(\frac{29-3\sqrt{93}}{2}\big)^{1/3}$ por lo que se puede expresar en términos de Secuencia constante de la vaca Narayana (raíz de $x^3-x^2-1=0$ ).

Answer 1

El gran disnubio tiene vértices y aristas idénticas como el Gran dirhombicosidodecaedro que tiene un circunradio de $\sqrt{2}/2$ .

La constante de secuencia de la vaca Narayama tiene un valor de 0,325617..
El Prisma Pentagonal Seis Compuesto tiene diagonales de longitud 0.32492

El resultado es 0,97685, lo que se aproxima a las longitudes de la segunda y tercera diagonales más largas de mi caltrop . Si se eliminan los 4 puntos tetraédricos, se podría equilibrar mucho, y las segundas diagonales más largas estarían bastante cerca de eso. Así que, tal vez resolver esa figura para maximizar las diagonales unitarias en 72 puntos y ver si Narayana sale. Utilicé esta forma para acercarme insoportablemente a un nuevo sólido de anchura constante tal vez esta constante de la vaca podría ser la clave para que funcione.

Answer 2

Sí, iba a decir lo mismo, que tiene los mismos vértices y aristas que el gran dirhombicosidodecaedro, alias el Monstruo de Miller, y por tanto tiene el mismo radio, $\frac{\sqrt 2}{2}$ . Sólo añadiré una explicación rápida del porqué, ya que hay una forma sencilla de verlo. Ambos poliedros tienen caras cuadradas que pasan por el centro del modelo, por lo que el circunradio del poliedro es justo la mitad de la diagonal de un cuadrado con longitud de arista 1, por lo que $\frac{\sqrt 2}{2}$ .

Answer 3

Aquí hay algunos ruedas de triángulos similares donde los lados son potencias de la raíz cuadrada de la constante de la Secuencia de la Vaca Narayana. Debería buscar en mi poliedros canónicos lista. Como nota al margen, $t^6-4t^4-t^3+4t^2+2t-1$ funciona perfectamente para el dodecaedro de la chata.

Answer 4

( Esta es una adición a la respuesta de E. Pegg y es demasiado larga para un comentario. )

Si hay un _degenerado_ poliedro uniforme con lado unitario y circunradio $R$ que implica la constante de la secuencia de la vaca Narayana, entonces el discriminante de $R$ debe ser integralmente divisible por $d=31$ .

La hipótesis es la siguiente: Dado el discriminante fundamental $d$ Hay exactamente dos campos cuadráticos imaginarios con número de clase $h(-d)=3$ de manera que el Polinomio de clase Weber $W$ tiene grado $3$ . Además, $W$ tiene coeficientes unitarios. Estos son $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{-31})$ ,

$$x^3-x-1 = 0,\quad x = P = \tfrac{\zeta_{48}\eta(\tau)}{\sqrt{2}\,\eta(2\tau)} = 1.3247\dots,\quad\tau = \tfrac{1+\sqrt{-23}}{2}$$

$$x^3-x^2-1 = 0,\quad x = N = \tfrac{\zeta_{48}\eta(\tau)}{\sqrt{2}\,\eta(2\tau)} = 1.4655\dots,\quad\tau = \tfrac{1+\sqrt{-31}}{2}$$

donde $\zeta_{48}$ es el $48$ raíz de la unidad $e^{2\pi i/48}$ y $\eta(\tau)$ es la función eta de Dedekind. Además, aunque $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ tiene $h(-d)=1$ También tenemos,

$$-x^3-x^2-x+1 = 0,\quad x = \frac{1}{T} = \tfrac{\zeta_{48}\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}-1 = 0.5436\dots,\quad\tau = \tfrac{1+\sqrt{-11}}{2}$$

$P,N,T$ tienen otros similitudes. Todas son Números de Pisot Todos son ratios limitantes de secuencias conocidas, todas aparecen en fórmulas de pi etc., etc. Dado que existe un sólido geométrico para $P$ y $T$ puede haber un sólido (degenerado, semirregular, etc.) para $N$ también.