Calcular la incertidumbre de $r$, cuando se utiliza $1/r^2$

Question

He intentado buscar a través de los foros y el Internet, sin embargo no he sido capaz de encontrar una fuente que fue capaz de entender completamente.

¿Tengo un % de distancia $r$, con una incertidumbre de $\mathrm{±\ 0.003\ m}$, sin embargo en orden a linearise mi gráfico, necesito dividir $1$ $r$ cuadrado ($1/r^2$), lo que sería la incertidumbre final $r$?-por otra parte, lo que la unidad sería? ¿Todavía sería $m$? ¿o $m^2$?

Answer 1

Este problema es generalmente llamado de propagación de error o incertidumbre. Usted puede buscar en google y encontrar un montón de información (también me gustaría recomendar Taylor "Introducción al Análisis de Errores"). Aquí está el quid de la cuestión, sin embargo. Si usted tiene independiente de las cantidades medidas $x, y, z, \ldots$ con errores de $ \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \ldots$, then the error on a function $f(x,y,z,\ldots)$ es

$$ \sigma_f = \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 \sigma_x^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 \sigma_y^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)^2 \sigma_z^2 + \cdots} $$

En cuanto a lo que la unidad sería, recuerde que siempre puede pensar de forma heurística del error como un $\pm$. Pregúntate esto: ¿la cantidad de $5 m^{-2} \pm 3m$, por ejemplo, algún sentido?

Answer 2

jwimberley la respuesta es integral, y es la que debe aceptar, pero me deja trabajar a través de mostrar cómo calcular sus barras de error.

Su función es:

$$ y = r^{-2} $$

así:

$$\begin{align} \frac{dy}{dr} &= -2 r^{-3} \\ &= -2 y \frac{1}{r} \end{align}$$

y por lo tanto jwimberley la expresión de $\sigma_y$ le da:

$$ \sigma_y = -2 y \frac{\sigma_x}{r} $$

En su experimento $\sigma_r$ es una constante de 0.003 m, pero el error en $1/r^2$ no es constante, sino que depende de $r$. Tome $r = 0.3$, lo $1/r^2 = 0.09$, el de la barra de error para este punto es:

$$\begin{align} \sigma_y &= -2 y \frac{\sigma_r}{r} \\ &= -2 \times 0.09 \times \frac{0.003}{0.3} \\ &= 0.0018 \end{align}$$

Usted podría notar que la fracción de error en $r$$1\%$, mientras que las fracciones de error en $y$$2\%$. Esto no es por casualidad. Si usted tiene una fórmula:

$$ y = x^n $$

Entonces para cualquier valor de $n$ si la fracción de error en $x$ $p_x$ la fracción de error en $y$$np_x$. Un juego rápido con la ecuación jwimberley dio debe convencerte de que este es el caso.

Answer 3

$y=1/r^2$ , del que se desprende $dy=-2/r^3 dr$.

El uso de las aproximaciones $\Delta y\approx dy$$\Delta r\approx dr$: $$\Delta y\approx-\frac{2}{r^3}\Delta r.$$ Ahora sólo tiene que conectar tus valores.

Por ejemplo, si $r=0.1\pm 0.003$m, entonces $$\Delta y\approx-\frac{2}{(0.1\rm m)^3}0.003{\rm m}=-6.0{\rm m}^{-2}.$$ El resultado negativo significa que y disminuye a medida que r aumenta, y viceversa. Si te gusta, usted puede incorporar en que expresan la incertidumbre de las $\mp$ en lugar de $\pm$: $$y=100\mp 6{\rm m}^{-2}$$ sin embargo, que no es estándar y no se recomienda, pero se incluye aquí para el académico de la claridad.

Vamos a ver lo bueno que esta aproximación es, en este caso en particular: $$\frac{1}{(0.1+0.003)^2}=94.26...\mbox{ as compared to }100-6=94$$ $$\frac{1}{(0.1-0.003)^2}=106.28...\mbox{ as compared to }100+6=106$$