$S_n$ tiene solamente cuatro (irred.) representaciones con grado $<n$ (para $n>6$)

Question

Yo estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Para $n\ge 7$, $S_n$ no tiene irreductible representaciones de dimensión$m$$2\le m\le n-2$.

Hay una solución aquí , pero me gustaría seguir la sugerencia de Fulton y Harris (ejercicio 4.14) y probar esta usando el gancho-longitud de la fórmula. Es de suponer que la prueba va a proceder inductivamente, y les he mostrado el caso base $n=7$, pero el resto estoy luchando.

Answer 1

Reclamo: El único irreductible representaciones de $\mathcal{S}_d$ ( $\mathbf{C}$ ) que han dimensión de menos de $d$ $V_{(d)}$, $V_{(1,\ldots, 1)}$, $V_{(d{-}1, 1)}$ y $V_{(2,1,\ldots,1)}$ así como las representaciones de $V_{(2,2)}$ $\mathcal{S}_4$ y $V_{(3,3)}$ & $V_{(2,2,2)}$ de $\mathcal{S}_6$.

F&H quiero que muestran que para todos los $\lambda$ a excepción de los de la reclamación,$$\dim V_\lambda = \frac{d!}{\prod(\text{Hook lengths})}\geq\ d$$ by induction (removing the first column of $\lambda$). Esto va a ser un poco feo, porque parece que tenemos que decir explícitamente lo que sucede cuando la eliminación de una columna rendimientos uno de los siete excepcional diagramas mencionados en la demanda.

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Primero vamos a hacer la inducción sin tener que preocuparse acerca de los siete.

Prueba: Supongamos que la afirmación es verdadera para todos los $d < k$. Ahora supongamos que tenemos una partición $\lambda\vdash k$ ( $\lambda_1\geq\ldots\geq\lambda_n\geq 1$ ) y que $\lambda$ con una columna quitado (denotado $\hat\lambda$) es no uno de los siete diagramas en la reclamación.

Por inducción, estamos asumiendo que los ganchos de $\hat\lambda=(\lambda_1-1,\ldots,\lambda_n-1)\vdash k-n$ satisfacer$$\frac{(k-n)!}{\prod(\text{Hooks of }\hat\lambda)} \geq k-n$$ or equivalently$$(k-n-1)!\geq\prod(\text{Hooks of }\hat\lambda).$$

Comenzando desde la parte superior, el gancho longitudes de la primera columna de $\lambda$ $\lambda_1-1+n$, $\lambda_2-2+n$, todo el camino a $\lambda_n$. De modo que el producto de los ganchos de $\lambda$ es entonces$$\prod_{i=1}^n(\lambda_i+n-i)\cdot\prod(\text{Hooks of }\hat\lambda)$$so this part of the induction is complete if we show that this is at most $(k-1)!$.

Hecho: $\lambda_i+n\leq k$. Por qué? Hay $n$ cajas en la primera col. de $\lambda$ $\lambda_i$ cajas en el $i$ésima fila de a $\lambda$. Así que doble contados por el cuadro en la primera col. y el $i$th fila, pero no debe ser otro vacío de la fila en $\hat\lambda$ (de lo contrario $\hat\lambda$ sería uno de los diagramas a partir de la afirmación de que estamos posponiendo hasta más tarde).

Desde el hecho, obtenemos $\lambda_i +n-i\leq k-i$, por lo que$$\prod_{i=1}^n(\lambda_i+n-i)\ \leq\ (k-1)\cdots(k-n).$$But this combined with what we know about $\hat\lambda$ is gives us exactly$$\prod(\text{Hooks of }\lambda) = \prod_{i=1}^n(\lambda_i+n-i)\cdot\prod(\text{Hooks of }\hat\lambda)\leq(k-1)!$$This is what we wanted since we can rearrange this to$$k\leq\frac{k!}{\prod(\text{Hooks of }\lambda)}.$$

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Ahora tenemos que preocuparnos por lo que sucede si $\hat\lambda$ es uno de los diagramas mencionados en la demanda (ya que no podemos usar el paso inductivo en estas). Estos son más tedioso que nada porque sólo puede explícitamente calcular el producto de los ganchos. Por ejemplo, supongamos $\hat\lambda$ es la partición correspondiente a la representación trivial. Entonces podemos tomar el doble de $\lambda$ y hacer la inducción de arriba a menos que $\hat\lambda$ $(1,1)$ . En ese caso, el producto de los ganchos es $2(n+1)(n)(n-2)!$ ($n$ es todavía el no. de las casillas de la primera columna) de manera queremos saber si$$\frac{(n-2)!}{2(n+1)(n)(n-2)!}\geq n-2.$$ This is true since this reduces to $n-1\geq 2$. El resto de los casos puede ser tratada de la misma manera, pero creo que no hay nada que aprender de la escritura de todo.