función generadora de momentos de la distribución chi-cuadrado

Question

¿Cómo encontramos la función generadora de momentos de la distribución chi-cuadrado? La verdad es que no he podido averiguarlo. La integral es

$$E[e^{tX}]=\frac{1}{2^{r/2}\Gamma(r/2)}\int_0^\infty x^{(r-2)/2}e^{-x/2}e^{tx}dx.$$

Le estoy dando vueltas pero no encuentro la solución.

Por cierto, la respuesta debería ser $$(1-2t)^{(-r/2)}.$$

Answer 1

$$ \begin{align} & {}\qquad E[e^{tX}]=\frac{1}{2^{r/2}\Gamma(r/2)}\int_0^\infty x^{(r-2)/2}e^{-x/2}e^{tx}\;dx \\ \\ \\ & = \frac{1}{2^{r/2}\Gamma(r/2)}\int_0^\infty x^{(r-2)/2}e^{x(t-(1/2))}\;dx \\ \\ \\ & = \frac{1}{2^{r/2}\Gamma(r/2)}\int_0^{-\infty} \left(\frac{u}{t-\frac12}\right)^{(r-2)/2}(e^u)\left(\frac{du}{t-\frac12}\right) \\ \\ \\ & = \frac{1}{2^{r/2}\Gamma(r/2)} \frac{1}{(t-\frac12)^{r/2}} \int_0^{-\infty} u^{(r-2)/2} e^u \; du. \end{align} $$ Esta última integral es un valor de la función Gamma.

Y fíjate que $$ 2^{r/2} \left(t-\frac12\right)^{r/2} = (2t-1)^{r/2}. $$

Edición posterior: Alguien ha cuestionado la corrección de lo escrito arriba; de ahí estos comentarios.

Obsérvese que como $x$ va de $0$ a $+\infty$ , $u$ pasará de $0$ a $-\infty$ ya que el factor $t-\frac12$ es negativo.

Ahora dejemos que $w=-u$ Así que $u=-w$ y $du=-dw$ y como $u$ va de $0$ a $-\infty$ entonces $w$ va de $0$ a $+\infty$ y obtenemos algo que se parece a la forma estándar de la integral que define la función Gamma.

Esto todavía nos deja con la cuestión de elevar un número negativo a una potencia.

La fracción $\dfrac{u}{t-\frac12}$ es positivo ya que $u$ y $t-\frac12$ son ambos negativos. Así que en lugar de lo que se hizo anteriormente, sustituyamos $\dfrac{u}{\frac12-t}$ para $x$ . Entonces $u$ va de $0$ a $+\infty$ y $e^{x(t-\frac12)}$ se convertirá en $e^{-u}$ . Entonces esto debería funcionar sin la sustitución adicional, y no tendremos el problema de elevar un número negativo a una potencia.

La integral es entonces $\Gamma(r/2)$ , por lo que cancela ese factor en el denominador.

Answer 2

En caso de que aún no lo hayas averiguado, el valor de la integral se deduce por simple escalado del integrando. En primer lugar, supongamos que $t < \frac{1}{2}$ , a continuación, cambie las variables $x = (1-2 t) y$ : $$ \int_0^\infty x^{(r-2)/2} \mathrm{e}^{-x/2}\mathrm{e}^{t x}\mathrm{d}x = \int_0^\infty x^{r/2} \mathrm{e}^{-\frac{(1-2 t) x}{2}} \, \frac{\mathrm{d}x}{x} = \left(1-2 t\right)^{-r/2} \int_0^\infty y^{r/2} \mathrm{e}^{-\frac{t}{2}} \, \frac{\mathrm{d}y}{y} $$ La integral en $y$ da la constante de normalización, y el valor de la f.g.m. sigue.