una pregunta sobre base orthonormal

Question

$\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ Es una base de orhtonormal en $L^2[0,1]$, prueban que $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n(x)|^2=\infty$ casi todos $x\in [0,1]$.

¿Cualquier sugerencia sobre este problema?

He intentado demostrar el conjunto de $Y$ tiene medida cero, donde $Y=\{x\in [0,1]: \sum_{n=1}^{\infty}|u_n(x)|^2<\infty\}$. Luego por la descomposición, WLOG, sólo tenemos que mostrar que $Y_k=\{x\in [0,1]: k\leq \sum_{n=1}^{\infty}|u_n(x)|^2<k+1\}$ tiene medida cero para cualquier $k\in \mathbb{Z}^+$, entonces traté de probar por contradicción. Pero puede mostrar sólo que $m(Y_k)\geq \frac{1}{k+1}$, entonces no tengo ni idea de cómo proceder a la prueba.

Answer 1

Dadas $k\in\mathbb{N}$, que $$X_k=\{x\in[0,1]:\sum_{n=1}^\infty|u_n(x)|^2\le k\}.$ $ para probar su conclusión, basta para mostrar que cada $k\in\mathbb{N}$, $m(X_k)=0$. Para probar el $m(E_k)=0$, basta para mostrar que si $E$ es un subconjunto mensurable de $X_k$ $km(E)<1$, entonces el $m(E)=0$.

Fijación de tal conjunto de $E$, $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ es una base orthonormal de $L^2[0,1]$, $\sum_{n=1}^\infty\int_{E}\bar{u}_ndm\cdot u_n$ converge a $\chi_E$ $L^2[0,1]$. Por lo tanto, $\sum_{n=1}^\infty\int_{E}\bar{u}_ndm\cdot u_n\chi_E$ también converge a $\chi_E$ $L^2[0,1]$. Desde $E\subset X_k$, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, cada $x,y\in E$, $\sum_{n=1}^\infty|u_n(x)\bar{u}_n(y)|\le k$. Se sigue que
%#% $ #% lo que implica que el $$\chi_E=|\sum_{n=1}^\infty\int_{E}\bar{u}_ndm\cdot u_n\chi_E|\le km(E)\chi_E<\chi_E \quad\mbox{a.e. on } E,$.