La suspensión de un cable produce un coseno hiperbólico de la forma, pero ¿qué pasa si orientamos el problema de tal manera que la cuerda comienza a $(0,y)$ y termina a las $(x,0)$ y especificamos una cuerda de longitud $m$ de manera tal que la cuerda puede abrazar a los límites, si hay suficiente holgura. Intuitivamente sabemos que el máximo posible de la longitud de la cuerda es $y+x$ (completamente abrazos límite) y el mínimo es de $\sqrt{x^2+y^2}$ (enseña). Entonces, ¿cuál es la forma resultante de una cuerda de longitud entre estos límites? Nunca he visto este problema en cualquier texto . Hice un poco de lectura y sospecho que tiene que utilizar Hamiltoniana de la mecánica y un multiplicador pero, ¿qué es la curva.
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Dondequiera que el cable cuelga en el aire su forma es la de un arco de un catenoid $$\gamma:\quad y=y_0+p\left(\cosh{x-x_0\over p}-1\right),\qquad p>0.$$ Aquí $(x_0,y_0)$ denota el ápice de la catenoid. La longitud de la $l$ de un arco de principio a $(x_1,y_1)$ y terminando en $(x_2,y_2)$ calcula a $$l=p\>\left|\sinh{x_2\over p}-\sinh{x_1\over p}\right|\ .$$
Cuando el cable está suspendido libremente entre el$A=(0,a)$$B=(b,0)$, entonces la posición del ápice dependerá de la determinada longitud total $\ell$, y no es una longitud característica $\ell_0$ para que el apex es exactamente en $B$ (lamentablemente $\ell_0$ sólo puede ser calculada numéricamente a partir de los datos proporcionados $a$$b$).
Al$\ell<\ell_0$, entonces el vértice está a la derecha de $B$, y de la pendiente del cable de llegar a $B$ es todavía negativo. La introducción de la $x$-eje como "piso" por lo tanto no tienen ningún efecto sobre el cable.
Al$\ell>\ell_0$, entonces el vértice es (por debajo de y) a la izquierda de $B$; por lo tanto, la introducción de la $x$-eje como "piso" crea una nueva situación. Sospecho que veremos la siguiente: La forma del cable es un arco de un catenoid $$\gamma_c:\quad y=p\left(\cosh{x-c\over p}-1\right),\qquad 0<c<b,$$ beginning at $Un$ and ending at the apex $(c,0)$ of $\gamma_c\ $, and then proceeds along the $x$-axis to $B$. In order to find $c$ tenemos que resolver el sistema $$p\left(\cosh{c\over p}-1\right)=a\ ,\qquad p\ \sinh{c\over p}+(b-c)=\ell$$ para$p$$c$.
