Cómo probar dos ecuaciones en álgebra lineal

Question

Dada la siguiente definición:

Cómo prueba de estas dos ecuaciones?

y

PS:

En realidad, hay dos pruebas anteriores a los dos(yo no tengo ningún problema con los dos siguientes), que son:

Tal vez son sugerencias sobre la solución de los dos últimos.

Me encuentro con este problema aquí(sección 2.1 acerca de la página 8~página 9)

Answer 1

Que $X=Y=A$. Tenemos $(\ast): \textrm{tr} XBY^TC = \textrm{tr} CXBY^T = \textrm{tr} (CXBY^T)^T = \textrm{tr} Y(CXB)^T$. Tan $$ \begin{eqnarray*} \nabla_A \textrm{tr} ABA^TC &=& \nabla_X \textrm{tr} XBY^TC + \nabla_Y \textrm{tr} XBY^TC \quad\textrm{(by chain rule)}\\ &=& \nabla_X \textrm{tr} X(BY^TC) + \nabla_Y \textrm{tr} Y(CXB)^T\quad(\textrm{by }(\ast))\\ &=& (BY^TC)^T + CXB = C^TAB^T + CAB \end{eqnarray *} $$ y obtenemos el primer resultado. El segundo resultado es más sencillo. Recordar que para cualquier % fijo $i$, por la expansión de Laplace, tenemos $\det A=\sum_j (-1)^{i+j}A_{ij}M_{ij}(A)$, donde $M_{ij}(A)$ denota el menor $(i,j)$ $A$. Dado que el cómputo del $M_{ij}(A)$ implique $A_{ij}$, tenemos $\frac\partial{\partial A_{ij}}\det A=(-1)^{i+j}M_{ij}(A)=C_{ji}(A)$, donde $C_{kl}(A)$ denota el cofactor $(k,l)$ $A$. Por lo tanto, $\nabla_A\det(A)=\textrm{adj}(A)^T=(\det A)(A^{-1})^T$.

Answer 2

Por escrito y en el índice de notación (preferencia personal), la primera ecuación es simple aplicación de la regla del producto (vea la notación de Einstein)

\begin{align} \nabla_{A_{ij}} \delta_{kl} A_{km}B_{mn} A^T_{np} C_{pl} = \newline \nabla_{A_{ij}} A_{km}B_{mn} A_{pn} C_{pk} = \newline (\nabla_{A_{ij}} A_{km})B_{mn} A_{pn} C_{pk} + (\nabla_{A_{ij}}A_{pn}) A_{km}B_{mn}C_{pk} = \newline (\delta_{ik}\delta_{jm})B_{mn} A_{pn} C_{pk} + (\delta_{ip}\delta_{jn}) A_{km}B_{mn} C_{pk} = \newline B_{jn} A_{pn} C_{pi} + A_{km} B_{mj} C_{ik} = \newline C^T\cdot A\cdot B^T + C\cdot A \cdot B \end{align}

en cuanto a la segunda ecuación, sólo he visto que se deriva por la reescritura de $|A|$ en términos de sus valores propios y haciendo algunos trucos o Jacobi de la fórmula. No creo que los dos anteriores ecuaciones dará mucho de trabajar con este.