Explicación heurística para el comportamiento oscilatorio de primera $n$ primos ' múltiplos

Question

Deje $A$ ser el conjunto de todos los múltiplos de la primera $n$ números primos. La asintótica de la densidad de $A$ debe ser dado por $\mu=1-\prod_{i=1}^n(1-1/p_i)$. Dejando $a_k$ $k$ésimo elemento de a $A$, la función de $a_k\cdot\mu-k$ es periódica. Por ejemplo, con $n=3$ (por lo $\mu=\frac{11}{15}$) parece:

$\hskip 1in$

Con mayor $n$ a pesar de que (por debajo de $n=10$), las cosas se vuelven más interesantes:

$\hskip 1in$

With[{aa = Prime@Range@10, range = 1*10^5}, 
With[{bb = DeleteDuplicates@ Sort@Flatten@
Table[Select[Range@(range), Mod[#, aa[[nn]]] == 0 &], {nn, Length@aa}]}, 
ListLogLinearPlot[{(1 - Product[(1 - 1/Prime@j), {j, 1, Length@aa}]) 
bb - Range@Length@bb}, Joined -> True]]]

¿Qué está pasando aquí, y por qué son las oscilaciones de un modo tan regular?

NOTA

Como señaló Daniel Fischer aquí, la secuencia de $a_k⋅μ−k$ es siempre a la larga periódicos (por $n=10$ su periodo es $5447823150$, por lo que la parcela para $k⩽10^5$ no puede revelar la periodicidad, y necesitaría de la parcela para $k⩽10^{10}$ o así para ver). Me refiero entonces a un fino regularidad, probablemente el mejor visto en una escala logarítmica, en su forma uniforme periodicy.

Agregó

Parcela estándar y registro de la parcela para el período $2$, $n=6$ como por Barry Cipra la sugerencia.

Answer 1

Esto es realmente sólo un comentario, pero es demasiado largo el post como tal. También, en cierta medida, se aborda el OP pregunta, "¿qué está pasando aquí?"

La función de $f(k)=\mu a_k-k$, mientras que el OP se señaló, es periódica. Su periodo es $$N=(2\cdot3\cdots p_n)-(1\cdot2\cdots(p-1))$$

(E. g., para $n=3$ el periodo de es $N=(2\cdot3\cdot5)-(1\cdot2\cdot4)=22$, como puede verse en la OP del gráfico de la parte superior.) Debido a la periodicidad, utilizando una escala logarítmica para graficar $f$ es sin duda el "mal" cosa que hacer: Para un gran $k$, el gráfico simplemente aparecer como una gran mancha, desde el periódico intervalo, se aplastadas en más y más cortos segmentos.

Sin embargo, el uso de la escala logarítmica es claramente el derecho cosa que hacer, o al menos intentar-por "pequeño" $k$. La OP del gráfico de $n=10$, en lo que a él tomado, se parece mucho (pero sólo a muy grandes rasgos) como una amplificación de la función seno, es decir, algo de la forma $Ax\sin x$ ( $x\propto\log k$ ), con un aumento de la cantidad de ruido que se agrega. Por lo que sería de interés para trazar las gráficas correspondientes para otros valores de $n$, a ver si todos tienen ese tipo de mirada. En particular, el OP puede querer cortar de nuevo a $n=5$ o $6$, cuando debería ser fácil de calcular toda una época.

En realidad, debido a que $f(-k)=-f(k)$, lo esencial del comportamiento de $f$ es capturado en la primera mitad de su período, $0\le k\le N/2$. (Nota, $N$ es incluso una vez $n\gt1$.) Así que me interesaría ver la función de $f$ trazan usando una escala logarítmica en $1\le k\le N/2$ para los primeros valores de $n$. En particular, se hace la sugerencia de una amplificación de la onda sinusoidal persisten, y si es así, se puede contar el número de ciclos que pasa a través de, o es lavado por el ruido en el momento de llegar cerca de $k=N/2$?

Bien podría ser que el registro de la escala no es la cosa correcta a utilizar. (Ciertamente tiene problemas cerca de $k=0$.) Alguien más puede tener una mejor sugerencia que ofrece una visión más clara.

Añadido posterior: El OP ha añadido un gráfico de $n=6$ que sugiere que el "ruido" que va a ser una consideración importante para largish $k$, incluso en el medio plazo. (Iba a llamar a un gran "problema", sino que la figura podría ser una función en lugar de un error, en cualquier caso, no va a desaparecer.) También finalmente me di cuenta de que la función de $f(k)$ es perfectamente lineal para $0\lt k\lt p_{n+1}$, por lo que la primera parte se parece a una curva exponencial cuando se representa en una escala logarítmica, y que parte se hace más y más a medida que aumente $n$. Sin embargo, si usted normalizar las cosas de modo que la gráfica de $1\le k\le N/2$ tiene anchura constante, esa porción se reducirá a nada.