Nunca entendí por qué la densidad lagrangiana (digamos que para un campo escalar) se limitó a tener sólo primeros derivados de orden del campo en tiempo y espacio en QFT. Una razón que puedo pensar es localidad. ¿Pero que no restrinjan uno de tener un número finito de orden superior derivados del campo,? ¡Gracias!
Respuestas
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Adam
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En la física clásica, no hay ninguna razón en particular por la mayor derivados de los campos no pueden ser utilizados. Un ejemplo es la teoría de la relatividad general, donde la acción de Einstein-Hilbert tiene primera y segunda derivadas de la métrica de campo.
En la teoría cuántica de campos la gama de Lagrangians que puede ser cuantifica de forma consistente es bastante limitada y no incluye nada con el mayor de los derivados, pero no es seguro que esta es una limitación infranqueable.
Los libros de texto, probablemente, sólo tratar el primer derivados, ya que impide el análisis simple y cubre el ejemplo más básico.
Michael Hardy
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4554
Este es un enorme problema.
La gente no sabe cómo cuantización de campos en Lagrange densidades que aparece con un total de derivadas de orden mayor que 2, mientras que mantener una coherente teoría.
Por ejemplo, el término $\partial_i \Phi \partial^i \Phi$ tiene un total derivado de la orden de 2, y sabemos cómo quantize este campo, y obtener una coherente teoría.
Pero no es más cierto con el mayor total derivado de los pedidos.
De hecho, el de Euler-Lagrange las ecuaciones son más complejas, de modo que la definición de la canónica de los impulsos asociados a $\Phi$ (en nuestro ejemplo) es más complejo.
En primer lugar, no es cierto que la densidad Lagrangiana se limita a tener de primer orden, el espacio y el tiempo de derivados. El ejemplo de la escalares del campo, \begin{align} \mathcal{L}=\tfrac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - \tfrac{1}{2}m^2\phi^2 + \mathcal{L}_{int}(\phi) \end{align} es un claro contraejemplo.
Ahora, después de Weinberg, QFT I, sección 10.7 en el Kallen-Lehmann representación, podemos demostrar (no voy a reproducir la totalidad de la derivación de aquí) que la inclusión de derivadas de orden superior en la $\mathcal{L}-\mathcal{L}_{int}$ (libre de Lagrange) es incompatible con la positividad postulado de la mecánica cuántica. El enunciado matemático es que exactamente dos puntos de función -- el $\phi$-propagador -- debe comportarse como \begin{align} \Delta'(p) \underset{p^2\to\infty}\longrightarrow \frac{1}{p^2}. \end{align}
Desde la perspectiva de la eficacia en campo de la teoría, sin embargo, es posible tener derivado de los acoplamientos de cualquier finito de orden en un local de teoría (infinito órdenes son inherentemente no-local), siempre y cuando se introduce una dimensión (generalmente de masa) de la escala de la dimensión que corresponda en cada pedido. (Ver Motl, la respuesta a por Qué son las ecuaciones diferenciales para los campos de la física de orden dos? para una explicación completa.)
Las respuestas anteriores son todas incorrectas para una o más razones. Ver los comentarios.
Roshh Rahman
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21
Esta es una suposición.
Por ejemplo, en la mecánica clásica de Lagrange sólo depende de las velocidades (primera derivados de la posición) de las partículas, por lo tanto deberá segundo orden diff. ecuación de movimiento (ley de Newton). Probablemente, usted consigue de segundo orden parcial diff. ecuaciones de Lagrange [pedante mode] si la alta derivadas de orden en el Lagrangiano no son una divergencia exacta [/pedante mode].
Usted puede obtener las ecuaciones basado en esta suposición y de verificación experimental, por lo lejos que está de acuerdo.
