La transformada de Fourier de $e^{2 \pi i / x}$ tiene sentido como una distribución, creo. ¿Tiene una expresión agradable en términos de funciones y distribuciones bien conocidas (por ejemplo delta de Dirac)?
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Ron Gordon
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Queremos calcular
$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i 2 \pi/x} e^{i 2 \pi \nu x} $$
Vamos a considerar el siguiente integral en el plano complejo:
$$\oint_C dz \, e^{-\left (2 \pi \nu z + \frac{2 \pi}{z} \right )} $$
donde $C$ es una circular en la cuña de radio de $R$ y el ángulo de $90$ grados en el cuadrante superior derecho. Por Cauchy teorema de la integral es cero. Sin embargo, la integral es también igual a la
$$\int_0^{R} dx \, e^{-\left (2 \pi \nu x + \frac{2 \pi}{x} \right )} + i R \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{i \theta} \, e^{- 2 \pi \nu R e^{i \theta} - 2 \pi e^{-i \theta}/R}+ i \int_R^0 dy \, e^{i 2 \pi (-\nu y + 1/y)} = 0$$
Tomamos el límite de $R \to \infty$. La segunda integral se puede evaluar de la siguiente manera:
$$R \int_0^{i} dz \, e^{-2 \pi \nu R z} = \frac1{2 \pi \nu} \left (1-e^{-i 2 \pi \nu R} \right )$$
que es una distribución en el límite de $R \to \infty$. En este límite, la primera integral se ha hecho en estas páginas, por ejemplo aquí, y es igual a
$$\int_0^{\infty} dx \, e^{-\left (2 \pi \nu x + \frac{2 \pi}{x} \right )} = \frac{2}{\sqrt{\nu}} \operatorname{K_1}{\left (4 \pi \sqrt{\nu}\right )}$$
Por lo tanto, hemos
$$i \int_0^{\infty} dy \, e^{i 2 \pi (-\nu y + 1/y)} = \frac{2}{\sqrt{\nu}} \operatorname{K_1}{\left (4 \pi \sqrt{\nu}\right )} + \lim_{R \to \infty} \frac1{2 \pi \nu} \left (1-e^{-i 2 \pi \nu R} \right )$$
Ahora un poco de un truco sucio. Vamos a invertir el signo de $\nu$ y utilice el hecho de que
$$\operatorname{K_1}{(i x)} = \frac{\pi}{2} \left [Y_1(x) - i J_1(x) \right ] $$
Por lo tanto, tienen
$$-i \int_0^{\infty} dy \, e^{i 2 \pi (\nu y + 1/y)} = \frac{\pi}{\sqrt{\nu}} \left [-Y_1 \left (4 \pi \sqrt{\nu}\right ) + i J_1 \left (4 \pi \sqrt{\nu}\right ) \right ] + \lim_{R \to \infty} \frac1{2 \pi \nu} \left (1-e^{i 2 \pi \nu R} \right )$$
Ahora tome la parte imaginaria de ambos lados y obtener
$$\int_0^{\infty} dy \, \cos{\left [2 \pi (\nu y + 1/y)\right ]} = -\frac{\pi}{\sqrt{\nu}} J_1 \left (4 \pi \sqrt{\nu}\right )+ \lim_{R \to \infty} \frac1{2 \pi \nu} \sin{2 \pi \nu R}$$
Tomando nota de que
$$\delta(t) = \lim_{R \to \infty} \frac{\sin{R t}}{\pi t} $$
El FT buscamos es el doble de la LHS, o
$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i 2 \pi/x} e^{i 2 \pi \nu x} = \delta(\nu) - 2 \pi \frac{J_1 \left (4 \pi \sqrt{\nu}\right )}{\sqrt{\nu}}$$
Como un recordatorio, $J_1$ es la función de Bessel de primera especie de primer orden.
ANEXO
El contorno de $C$ I se describe técnicamente debe evitar la singularidad esencial en el origen. Sin embargo, un rápido cálculo, se comprueba que la deformación de $C$ a un pequeño cuarto de círculo de radio de $\epsilon$ sobre el origen se desvanece en el límite de $\epsilon \to 0$, así que estamos bien.
ANEXO II
La respuesta original había un error en el que yo había extraviado un factor de $i$ en el medio del cálculo. El resultado aquí ahora es correcta y se ha verificado que ser así.
Tryss
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Una solución parcial :
Como Normal decir, podemos ve en $f(x) = e^{2i\pi/x} -1$ lugar
Su función de verificar la siguiente ODA
$$f'(x) - 1= -\frac{2i\pi}{x^2} f(x) $$
Por "multiplicar por $x^2$", se obtiene que
$$f(x) + \frac{x^2}{2i\pi} f'(x) = x^2$$
El uso de la transformada de Fourier, se obtiene
$$\widehat{f}(x) + \widehat{\frac{x^2}{2i\pi} f'(x)} = \delta''$$
$$\widehat{f}(x) + \widehat{\frac{x^2}{2i\pi}} \ast \widehat{ f'(x)} = \delta''$$
$$\widehat{f}(x) + \frac{1}{i\sqrt{2\pi}} \delta'' \ast ( -i\sqrt{2\pi} x \widehat{ f}(x) ) = \delta''$$
$$\widehat{f}(x) - ( x \widehat{ f}(x) )'' = \delta''$$
$$\widehat{f}(x) - 2 \widehat{f}'(x)- x\widehat{ f}''(x) = \delta''$$
Así, por $x \neq 0$, $\widehat{f}$ verificar
$$\widehat{f}(x) - 2 \widehat{f}'(x)- x\widehat{ f}''(x) = 0$$
Y mi numérico esclavo me da una solución en términos de funciones de Bessel Modificadas :
$$g(x) = \frac{c_1 I_1(2 \sqrt{x})}{\sqrt{x}}+ \frac{c_2 K_1(2 \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$$
con $c_1$ $c_2$ encontrar
Pero estoy demasiado cansado para obtener la solución completa para ahora (estamos perdiendo una distribución con soporte de $\{0\}$).
