Deje $G(r, n)$ ser el Grassmannian del conjunto de todas las $r$-planos en un $n$-dim espacio vectorial. Cómo mostrar que la cohomology de un Grassmannian tiene una base consistente en el equivalente a las clases representadas por ciclos de Schubert? Estoy confundido ya que no sé cómo calcular el cohomology de una variedad (cómo construir el co-complejo de cadena). Estoy realmente apreciaría si usted puede calcular el cohomology de, por ejemplo, $G(2,4)$ y mostrar que tiene una base consistente en el equivalente a las clases representadas por ciclos de Schubert.
Respuesta
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Yo no soy un experto y esto probablemente no es una respuesta, pero la pregunta es, esencialmente, un problema clásico. Usted puede referirse a Hatcher prueba en su libro, o notas por Michael Hopkins en aquí. Lamento que yo no podía abordar su pregunta en $Gr(2,4)$ como no he hecho el cálculo de años. La herramienta esencial sería celluar de descomposición, el cálculo del grado, y la dualidad de Poincaré. Este solía ser mi último problema cuando yo estaba aprendiendo topología algebraica años.
No puede ser impecables maneras de llevar a cabo el cálculo de Schubert cálculo, pero lo que sé es, generalmente, un problemático proceso y sólo ha sido resuelto por Ravi Vakil por su papel en los Anales. Esto también está relacionado en cierta medida con Schubert polinomios, que yo personalmente conozco muy poco. Generalmente Schubert cálculo ofrecemos una forma de conseguir 'universal' los objetos que pueden representar objetos específicos.
