Funciones Hibernéticas y Circulares (Trig): ¿Por qué no hay parabólicas?

Question

Existen funciones circulares (trigonométricas) que determinan todos los puntos de una circunferencia unitaria:
y que se refieren al área barrida por un ángulo subtendido en el círculo.
-- Por supuesto, estas funciones pueden extenderse también a las relaciones con las elipses.

También existen funciones hiperbólicas que determinan todos los puntos de una hipérbola:

Mi pregunta es por qué no hay análogos de estas funciones para las parábolas (el otros tipo de sección cónica):

Aquí he definido $\mathrm {sinp}(\theta)$ y $\mathrm {cosp}(\theta)$ para ser las coordenadas x e y de los puntos de una "parábola unitaria".

¿Hay alguna buena razón por la que debamos tener estas funciones trascendentales extremadamente útiles (sen, cos, sinh, cosh, etc.), pero no podamos (o no lo hagamos) definir funciones análogas para las parábolas?

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NOTA: He recomendado que se borre este post porque la respuesta de Henning en ¿Existen las "Funciones Trigonométricas Parabólicas"? explicó teóricamente por qué una "función trigonométrica parabólica" es diferente de las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas. Sin embargo la respuesta de johannesvalks a esto fue muy interesante, también, y probablemente no debería ser eliminado.

Answer 1

Estas funciones existen. Se llaman polinomios cúbicos:

$$\int_a^b x^2 dx=\frac13(b^3-a^3)$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

(1) Para $\cos(\phi)$ y $\sin(\phi)$ el argumento es una "superficie".

(2) Para $\cosh(\zeta)$ y $\sinh(\zeta)$ el argumento es una "superficie".

Por lo tanto, hay que buscar funciones cuyo argumento sea una "superficie".

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Considere $y = x^2 - c$ , donde $c$ es positivo.

Para un determinado $x = \xi$ tenemos un arco formado por:

(3a) la curva $(0,-c) \rightarrow (\xi,\xi^2-c)$

(3b) la línea $(\xi,\xi^2-c) \rightarrow (0,0)$

(3c) la línea $(0,0) \rightarrow (0,-c)$

La superficie de este arco viene dada por

(4) $\displaystyle A = \int_0^\xi \left( \frac{\xi^2 - c}{\xi} x + c - x^2 \right) dx = \frac{1}{6} \xi^3 + \frac{1}{2} c \xi$

Así que por un punto $(x,y)$ en la curva $y = x^2 - c$ obtenemos

(5) $A = \frac{1}{6} x \Big( x^2 + 3c \Big)$

Y lo que queremos es

(6a) $x = x(A)$

(6b) $y = y(A)$

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Para encontrar la inversa de $A = \frac{1}{6} x \Big( x^2 + 3c \Big)$ escribimos $\displaystyle x = \frac{c}{\zeta} - \zeta$ , entonces obtenemos la ecuación

(7) $\Big[ \zeta^3 \Big]^2 + 6 A \Big[ \zeta^3 \Big] + c^3 = 0$ ,

de donde

(8) $ \zeta^3 = \sqrt{9A^2 + c^3} - 3A $ ,

por lo tanto

(9a) $\displaystyle x(A) = \frac{c}{\sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + c^3} - 3A}} - \sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + c^3} - 3A}$

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Las funciones "parabólicas" vienen dadas por

(10a) $\displaystyle x(A) = \frac{c}{\sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + c^3} - 3A}} - \sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + c^3} - 3A}$ ,

(10b) $\displaystyle y(A) = \frac{c^2}{\sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + c^3} - 3A}^2} + \sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + c^3} - 3A}^2 - 3 c$ ,

pero pueden expresarse mediante radicales, como no es el caso de las funciones goniométricas e hiperbólicas.

El caso $c=1$ da

(11a) $\displaystyle x(A) = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + 1} - 3A}} - \sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + 1} - 3A}$ ,

(11b) $\displaystyle y(A) = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + 1} - 3A}^2} + \sqrt[3]{\sqrt{9A^2 + 1} - 3A}^2 - 3$ .