¿Cómo solucionarlo?

Question

Yo estaba pensando al azar de los problemas de matemáticas a mí mismo cuando me encontré con esto:

$x^2 = 2^x$

Parecía muy simple al principio, pero después de probar varias formas de resolver, no tenía ni idea de qué hacer.

Así, empecé a hacer un montón de búsquedas para este problema, y me enteré de que en el fin de solucionar $x^2 = 2^x$, usted tiene que utilizar algunas de las funciones de los que nunca han escuchado antes. Por lo tanto, tengo tres preguntas con respecto a este problema.

1) ¿es posible solucionar $x^2 = 2^x$ aritméticamente? Si es así, ¿cómo iba a hacerlo? Si no, ¿por qué no? En otras palabras, ¿por qué sería imposible resolver este problema aritméticamente?

2) ¿por Qué es que la adición y la multiplicación son conmutativas, pero exponenciación no? Entiendo que no todas las formas de multiplicación en las matemáticas no son conmutativas, pero por el bien de este problema, la exponenciación se siente como el "siguiente paso" a la derecha después de la multiplicación. He aquí lo que quiero decir con esto:

Además se acaba de añadir un número a un número.

La multiplicación es sólo la adición de un número $N$ veces a un número.

La exponenciación es simplemente multiplicar un número $N$ multiplicado por un número.

3) ¿Sería posible inventar su propia función para solucionar $x^2 = 2^x$, o más bien, $x^y = y^x$? Y después de encontrar una manera de representar a su respuesta, ¿cómo se podría ir sobre la evaluación de su respuesta sin usar una calculadora?

Si algo no tiene sentido anterior, puedo hacer mi mejor esfuerzo para aclarar. También sé que algunas de estas preguntas han sido preguntado antes, pero realmente no entendía ninguna de las respuestas y las preguntas no tan específico como el mío.

Answer 1

Más pronto o más tarde, usted aprenderá que la(s) solución de $$x^y=y^x$$ express in terms of Lambert function and the solution write $$x=-\frac{y}{\log (y)} W\left(-\frac{\log (y)}{y}\right)$$ no puede ser expresado en términos de la función primaria.

En el dominio real, la función de $W(z)$ sólo está definida para $z \geq -\frac 1e$ y, como se verá en la página de la Wikipedia, para $-\frac 1e \leq z \lt 0$, me multivalor (parte superior e inferior de las ramas).

Para el cómputo de los valores, la página de la Wikipedia contiene expansiones que son muy buenos.

Por curiosidad, búsqueda en este sitio y usted encontrará muchos usos y aplicaciones de la hermosa Lambert función.

Answer 2

Usted puede encontrar soluciones un par de enteros, $x = 2$, $x = 4$, por sólo adivinar.

Hay otra solución $x \approx -0.766665$, pero esto requiere la función W de Lambert.

$$x = -\frac{2W\bigl(\frac{\ln 2}{2}\bigr)}{\ln 2}$$

Para una pregunta similar, mira aquí: Solve $x$: $2^x = x^3$

Answer 3

La $\displaystyle x_1^{x_2}=x_2^{x_1}$ $\displaystyle x_1=(1+\frac{1}{t})^t$, $\displaystyle x_2=(1+\frac{1}{t})^{t+1}$% #% y #%.

$1<x_1<e<x_2$ Obtenemos $t=1$.

$2^4=4^2$ $x^2=2^x$ significa $x<0$ $y^\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Puede utilizar la función W de Lambert o simplemente la iteración $y:=-x$ $y_{n+1}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{y_n}$.