¿Cuáles son los subgrupos de un parámetro de GL?

Question

Son los multiplicativo de un parámetro subgrupos del grupo lineal general (es decir, morfismos $\lambda:\Bbbk^\times\to\mathrm{GL}_n\Bbbk$ algebraico de grupos) completamente clasificados? Los candidatos obvios son los $$\lambda(t) := \mathrm{diag}(t^{\alpha_1},\ldots,t^{\alpha_n})$$ por cierto $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb Z^n$. Luego, también podemos considerar la posibilidad de conjugados de estos, es decir, $$(g.\lambda)(t) = g\lambda(t)g^{-1}.$$ Son todos estos?

Pensamientos: Un parámetro subgrupos son conmutativas. Por lo tanto, si consisten en diagonalizable elementos, que pueden ser diagonalized simultáneamente. Por lo tanto, si la imagen de $\lambda$ se compone de diagonalizable elementos, es de la forma anterior. Sin embargo, hay un parámetro subgrupos que no diagonalizable?

Answer 1

Suponga que $k$ es algebraicamente cerrado y deje $\lambda : k^\times \rightarrow \mathrm{GL}_n(k)$ ser una de morfismos algebraico de los grupos. Deje $R = \{x \in k : x^m = 1 \text{ for some $m \in \mathbb{N}$}\}$.

Si $x \in R$ satisface $x^m = 1$ $\lambda(x)^m = I_n$ $\lambda(x)$ es diagonalizable. Una familia infinita de desplazamiento lineal de los mapas en un finito-dimensional espacio vectorial pueden ser simultáneamente diagonalized, así que hay una base para $k^n$ en el que todos los mapas de $\lambda(x)$ $x \in R$ son diagonales. Desde $R$ es Zariski denso en $k^\times$, se deduce que todos los $\lambda(x)$ son diagonales en esta base.

Por último, si $\lambda(x) = \mathrm{diag}(\lambda_1(x),\ldots,\lambda_n(x))$, a continuación, cada una de las $\lambda_i$ es una de morfismos algebraico de los grupos de $k^\times \rightarrow k^\times$, por lo que es de la forma $x \mapsto x^r$ algunos $r \in \mathbb{Z}$. Esto demuestra que cada uno de los parámetros de subgrupo es de la forma que esperaba.