¿Son los mapas$\operatorname{Spec}k[x]\times \operatorname{Spec}k[x]\to \operatorname{Spec}k[x]$ de alguna manera polinomios bivariados?

Question

Deje $R$ a (conmutativa unitario) anillo de objeto en un topos $\mathcal E$. Decir $R$ es un anillo de Fermat si satisface $$\forall f:R\to R\;\exists !g:R^2\to R\;: \forall x,x^\prime \in R\;[fx^\prime -fx=g(x,x^\prime )\cdot (x^\prime -x)].$$ Como Kock escribe en su SDG libro, esta es una alternativa sintética de la fundación para el cálculo.

Supongamos ahora $\mathcal E$ es un topos de $k$-álgebras de $k$ un conmutativo unitario anillo. $\mathcal E$ tiene el anillo objeto de $R=\operatorname{Spec}k[x]$. Quiero demostrar que la $$\mathcal E\models R\text{ is Fermat}.$$

Una cadena de isomorphisms rápidamente me recuerda que $f:R\to R$ es sólo un univariante polinomio con coeficientes en $k$. Si una flecha $g:R^2\to R$ eran sólo un bivariante polinomio, entonces parece que podemos conseguir deseado $g$ observando $f(Y)-f(X)$. En efecto, desde el $Y-X\mid Y^k-X^k$, $Y-X\mid f(X)-f(Y)$ y cualquier bivariante polinomio que da $f(Y)-f(X)$ cuando se multiplica por $Y-X$ debería funcionar.

Mi problema es que me parece que no puede conseguir una cadena de isomorphisms que conduce a $k[x,y]$; todo lo que veo es

$$\mathsf{Hom}(\operatorname{Spec}k[x]\times \operatorname{Spec}k[x],\operatorname{Spec}k[x])\cong \mathsf{Hom}(k[x],k[x]\times k[x])\cong \mathsf{Hom}(\mathbf{2},Uk[x])$$i.e dos polinomios univariados...

Answer 1

Desde $$\operatorname{Spec}k[x]\times \operatorname{Spec}k[x]\cong\operatorname{Spec} k[x]\otimes k[x]\cong\operatorname{Spec}k[x,y],$$ a map $\operatorname{Spec}k[x]\times \operatorname{Spec}k[x]\to\operatorname{Spec}k[x]$ corresponds to a map $k[x]\to k[x,y]$, not a map $k[x]\to k [x] \times k [x] $ as you wrote. Such a map is determined by where it sends $x$, es decir, un polinomio bivariado.