Código torico y modelo de enlace aleatorio

Question

Fue creado por Dennis, Kitaev et al. que el 2D Tóricas de Código puede ser asignado a un 2D al Azar de los Bonos del Modelo de Ising. El original de la derivación fue dada en el papel "Topológica de la memoria cuántica" que se puede encontrar en J. Math. Phys. 43, 4452 (2002); doi: 10.1063/1.1499754 o en línea en http://dx.doi.org/10.1063/1.1499754 . Un libre arXiv preprint está disponible en línea aquí.

La derivación que muestra que el 2D Tóricas de Código puede en realidad asignado a 2D al Azar de los Bonos del Modelo de Ising en la sección IV - D "Derivación del modelo" (página de Inicio 4469).

El punto donde estoy perderse es cuando él está tratando de establecer una función que por un fijo de la cadena de E de salidas de la probabilidad de un "homotopically equivalente en cadena" $E'$ (a la que él llama $p(E'|E)$).

Para obtener esta función primero se calcula la probabilidad de un enlace siendo ocupada que se encuentra en $E'$, pero no en $E$. Él obtiene (Eq. 13) que la probabilidad es igual a

\begin{equation} \left(\frac{p}{1-p}\right)^{n_{C}(\ell)} \end{equation}

hasta un total de normalización y con $C$ siendo el ciclo correspondiente a $E'$.

Yo no veo cómo se llega a que los resultados o lo que el total de normalización factor que realmente es (después de todo la "normalización" es crucial cuando se habla de probabilidades - ¿cuál es el significado de la probabilidad 35 si no sé la normalización?) A continuación, se obtiene en la ecuación. (15) una explícita exponencial como la forma de $p(E'|E)$ que no está claro para mí ninguno de los dos. Él también parece omitir un montón de explicaciones, al menos en esta etapa.

Alguien podría explicarme un poco más en los detalles de cómo la derivación es llevado a cabo en más detalle? Esto realmente me ayudaría mucho.

Answer 1

No estoy completamente seguro de lo siguiente - si usted tiene comentarios o preguntas acerca de ella, yo estaría muy feliz de escucharlos.

El cálculo de $P(E'|E)$ viene de la expresión normalizada $P(E') = P(E'|E)P(E)$, por lo que esta es la razón por la que estamos buscando la relación de $P(E')/P(E)$.

Inicio de la ecuación 12:

$P(E) = \prod_{\ell} (1-p) \prod_{\ell} \left(\frac{p}{1-p}\right)^{n_E(\ell)}$,

y

$P(E') = \prod_{\ell} (1-p) \prod_{\ell} \left(\frac{p}{1-p}\right)^{n_{E'}(\ell)}$.

Dividiendo estas, nos vemos

$\frac{P(E')}{P(E)} = \prod_{\ell} \left(\frac{p}{1-p}\right)^{n_{E'}(\ell)-n_E(\ell)}$.

Así que dependiendo de si $n_{E'}(\ell) = 0, n_E(\ell) =1$ o $n_{E'}(\ell) = 1, n_E(\ell) = 0$ recuperar ecuación 13 o 14. Creo que dicen que es proporcional, porque tienes que llevar el producto a través de toda la red.

No estoy seguro de cómo llegan a la ecuación 15, pero si me imagino que lo voy a publicar.

Answer 2

No estoy seguro de si esta bastante resuelve su problema, pero tal vez le da un poco de perspicacia. Supongamos que usted tiene una única tirada en un campo magnético, de tal manera que la energía de la brecha entre el giro (de baja energía) y girar hacia abajo (de alta energía) es $1$ (en algunas unidades). En el equilibrio térmico en algunos inversa de la temperatura de $\beta$, la probabilidad de giro es entonces,

$$ p = \frac{e^{-\beta}}{1+e^{-\beta}} $$

reorganizar, nos encontramos,

$$ \frac{p}{1-p} = e^{-\beta}. $$

Así que también podría ir en el otro sentido. Dado un evento que ocurre con una probabilidad de $p$, como el resultado 'jefes' en una visión sesgada de la moneda, usted puede pensar en él como un spin en un campo en la temperatura de la $\beta (p)$. Esto nos permite hacer un mapa probabilístico de eventos para la física estadística de los modelos. Esto es lo que pasa cuando hacemos un mapa de errores en la TC para la RBIM. Hay otras complicaciones, por supuesto, pero espero que esta explicación le ayudará a navegar un poco mejor.