Integral definida de $e^{\large x^2}$

Question

Sé que no hay una antiderivada elemental de $e^{\large x^2}$ .

Pero ¿qué pasa si hay una integral definida como

$$\int_0^1e^{\large x^2}\ dx\ ?$$

Intenté usar la propiedad integral definida básica como $\displaystyle\int^a_0f(x)\ dx =\int^a_0f(a-x)\ dx $ pero no veía ninguna salida.

Answer 1

Utilizando la serie Maclaurin de función exponencial obtendremos $$ e^{\large x^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{\large 2n}}{n!}. $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_{x=0}^1\ e^{\large x^2}\ dx&=\int_{x=0}^1\ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{\large 2n}}{n!}\ dx\\ &=\sum_{n=0}^\infty\int_{x=0}^1\ \frac{x^{\large 2n}}{n!}\ dx\\ &=\left.\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{\large 2n+1}}{(2n+1)\ n!}\right|_{x=0}^1\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)\ n!}\\ &\approx 1.4626517459. \end{align} $$

Answer 2

Sugerencia: compruebe cómo la integración incorrecta de $\int{e^{-x^2}}$ y utilizar un $x\rightarrow{ix}$ de la cartografía.