¿primalidad sobre azulejos?

Question

Llame a $S_n$ el cuadrado de área $n^2$. Lo veo como una colección de $n^2$ unidad de plazas. En la siguiente, lo que yo llamo el azulejo es una colección de la unidad de plazas que se pegan juntos.

Si $n$ no es primo, decir $p \times q$, es posible azulejo $S_n$ $n$ azulejos que son rectángulos cuyos lados son $1$$n$. También es posible azulejo $S_n$ $n$ rectángulos cuyas dimensiones son $p$$q$.

Así, al $n$ no es primo, no hay una única manera de baldosa $S_n$ con exactamente $n$ azulejos de la misma forma.

Para $n=2$, $3$ o $5$, fácil cálculos muestran que el rectángulo de dimensiones $1$ $n$ es la única forma de que los azulejos de $S_n$ $n$ elementos. ¿Qué otros números primos?

No sé si esta pregunta es bien conocido y/o ha sido estudiado. He mirado en varios capítulos de Martin Gardner libros, pero no he encontrado esta.

Gracias por adelantado por vuestros comentarios !

Answer 1

En el libro sobre este tipo de problema es Polyominoes, por Salomón W Golomb. Tengo la 2ª edición, los derechos de autor de 1994, por lo que es muy posible que se haya producido la obra más reciente sobre este problema.

El capítulo 8, a partir de la página 97, es acerca de mosaico rectángulos. Siguiente Klarner, Golomb define el orden de un polyomino $P$ como el número mínimo de congruencia de las copias de $P$ que se pueden ensamblar para formar un rectángulo. En la página 97, Golomb escribe, "no hay polyominoes de la orden de 3" (él atribuye el resultado a Ian Stewart). En la página 100, escribe, "no polyomino cuyo orden es un número impar mayor que 1 nunca ha sido encontrado."

Esto está bastante lejos de responder a la pregunta. Golomb es de baldosas rectángulos, usted está pidiendo más, porque usted desea mosaico de un cuadrado. Golomb quiere revestir el más pequeño rectángulo, pero usted está pidiendo para menos, ya que no importa si el polyomino baldosas de un pequeño rectángulo, ya que también los azulejos de su plaza. Pero en la mayoría de los ejemplos en el libro, $n$-ominoes (que es, polyominoes de tamaño $n$) de la orden $m$ ha $n\lt m$, por lo que no pueden baldosa una $n\times n$ plaza.

EDIT: no Hay discusión de los problemas relacionados con en http://mathoverflow.net/questions/11753/cutting-a-rectangle-into-an-odd-number-of-congruent-pieces que incluye los resultados postdating la Golomb libro.

Answer 2

¿Bien, desea partición $S_p$ $p$ igual rectángulos, derecho?

Si se asume la igualdad (al menos del área), entonces es fácil: cada rectángulo debe tener área de $p^2/p=p$ por lo que el rectángulo (de tamaño entero, por supuesto) tiene que ser $1\times p$.