Ingenua teoría de conjuntos por Halmos es confuso para un laico como yo

Question

Quiero ser capaz de expresar conjunto de notaciones con fluidez en matemáticas de los campos utilizados en el aprendizaje de máquina, así que empecé a leer la Ingenua Teoría de conjuntos por Halmos.

Pero he estado frente a un montón de problemas como :

1. En las páginas 1-6 , me encontré if and only if y se tuvo que ir a la Wikipedia, para realmente entenderlo .
2. También , tuve que buscar en Matemáticas.SE a de entender tales frases como :

• Es igualmente inofensivos si la letra ya ha sido utilizado con "para algunos" o "para todos". Recordemos que "para algunos $x \ (x \in A)$"significa el mismo que "para algunos $y \ (y \in A)$" ; de ello se sigue que una juiciosa cambio de notación será siempre evitar alfabético de las colisiones.

• "nada, lo contiene todo "

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Cada página es un enigma que requiere enormes cantidades de gimnasia mental. Creo que no estoy listo para leer el libro, sin embargo.

¿Alguien puede recomendar una mejor introducción informal de la teoría de conjuntos de Halmos ?

^{Mi experiencia : me licencié en biología y asistió cálculo, estadística, análisis real, y de álgebra lineal clases en una universidad. Sin embargo, dejé de todas las clases de matemática muy temprano para centrarse en la biología. Ahora, quiero aprender matemáticas de nuevo. La alta escuela no enseña ninguna fundamentación teórica de las matemáticas en todos.}

Answer 1

Usted está listo. Usted no lee el libro de matemáticas como leer una novela. Usted, literalmente, puede pasar días en una página. Usted no va a encontrar una mejor libro de Halmos del libro; así que podrías agarrar una tonelada de papel de cero e irse a la ciudad.

Recomiendo que familiarizarse con los fundamentos de la lógica y el álgebra booleana en primer lugar. Usted debe sentirse cómodo con lo implica, si y sólo si, para todo, existe, y, y o.

Puesto que usted ha encontrado su camino en el Intercambio de la Pila, entonces usted tiene acceso a la calidad de la ayuda cuando el cerebro empieza la fusión debido a la sobrecarga.

En términos de la teoría de conjuntos, la frase "nada se contiene todo lo que' fuera de contexto, puede ser tomado para significar que el conjunto vacío contiene todos los conjuntos o de que no hay tal cosa como el conjunto de todo.

La primera interpretación es ridículo. El segundo es en realidad muy profunda y no siempre se ha creído.

Por último, hay algo que un antiguo jefe mío me dijo una vez. "Nadie ha logrado nada por la lectura de todo el libro." Hay mucho en Halmos que probablemente usted no necesita saber. No se sienta obligado a aprender todo lo que en el libro.

Answer 2

Quiero ser capaz de expresar conjunto de notaciones con fluidez en matemáticas campos se utiliza en el aprendizaje de máquina.

Un libro sobre la teoría de conjuntos, probablemente no es el lugar adecuado para estar mirando. Aquí está mi consejo:

1. Comience tratando de entender la "lógica proposicional" (aka "la lógica booleana".) Comience por buscar en Google términos como "introducción a la lógica proposicional." Tal vez consigas un buen libro de introducción a la lógica. Siguiente sylvia del consejo, considere la posibilidad de conseguir sus manos en Cómo Probar y/o libros similares.

2. Una vez que usted entienda lógica proposicional, haga que su objetivo para entender la lógica de primer orden." Intente buscar en google "introducción a la lógica de primer orden" y/o similares términos de búsqueda.

3. En serio, asegúrese de entender la lógica de primer orden. Ser capaz de expresar las ideas correctamente el uso de la lógica de primer orden es sin duda una de las habilidades más importantes que un matemático debe poseer.

4. Darse cuenta de que usted no tiene que usar set-generador de notación para expresarse de forma inequívoca. En particular, observe que los siguientes de expresar la misma cosa.

   • $A = \{x \in X \mid \mathrm{blah}\}$.

   • $A$ es el único subconjunto de $X$ tal que (para todos los $x \in X$) los siguientes son equivalentes.

     • $x \in A$

     • $\mathrm{blah}$

Answer 3

Creo que Halmos' Ingenua Teoría de conjuntos se ocupa principalmente de la teoría de conjuntos como una fundación en la parte superior de que las matemáticas se construyen, pero la palabra "ingenuo", si he entendido bien, sólo significa que considerar el concepto de un conjunto concretamente como una colección de cosas en lugar de axiomáticamente como lo que satisface los axiomas. En cuanto a la teoría de conjuntos aplicada a la máquina de aprendizaje, puede ser que lo que se necesita difiere del contenido de Halmos " del libro. Me gusta el libro de E. Kamke, que fue reimpreso por Dover Libros, pero no sé cómo se adapta bien a la máquina de aprendizaje en el tema. Es útil en el aprendizaje de máquina para saber cómo probar que $2^{\aleph_0}\ne\aleph_\omega$? No me sorprendería si no lo es, pero no sé.

En cuanto a la diferencia entre "para algunos $x$, ($x\in A)$" y "para algunos $y$, $(y\in A)$", es la misma que la diferencia entre el primer y último términos de esta expresión: $$ \sum_{x=1}^5 x^2 = \underbrace{1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 + 5^2}_{\texto{No }x\text{ o }y\text{ aparece aquí.}} = \sum_{y=1}^5 y^2. \tag 1 $$ $x$ $y$ están "obligados" variables de aquí. Hay un artículo de Wikipedia sobre esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Free_variables_and_bound_variables La primera y la última de las expresiones en $(1)$ son llamados "alfabética variantes" de cada uno de los otros. Si uno se enfrenta con una expresión como $$ \left(\sum_{i\in A}f(i)\right)\left(\sum_{i\in B} g(i)\right) $$ puede ser útil para escribir este alfabético de la variante: $$ \left(\sum_{i\in A}f(i)\right)\left(\sum_{j\B} g(j)\right) $$ porque desde que uno puede ir a ver que esto es igual a $$ \sum_{i\in A}\left(\sum_{j\B} \Big( f(i)g(j) \Big) \right). $$ Algo similar sucede cuando uno quiere poner de fórmulas en lógica de primer orden en lo que se llama forma normal prenex.

Me gustaría tener "nada contiene todo lo que" significa que no hay de que todo es un miembro. En particular, en la convencional de Zermelo–Fraenkel teoría, no es un miembro de sí misma. Además, cada conjunto tiene más subconjuntos que tiene miembros, por lo que su subconjuntos no puede ser todos los miembros de la misma, aunque en algunos casos algunos de ellos. Véase, en particular, en este artículo: http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem

Answer 4

Aunque no es exactamente una introducción a la teoría de conjuntos de por sí me considera Una Introducción a las Pruebas y la Matemática de la lengua Vernácula por Martin V. Día a ser de gran ayuda en familiarizarse con una serie de conceptos y notaciones.
Aunque se centra en la lectura, la escritura y la revisión de las pruebas se proporciona toda la información necesaria para entender todas esas pruebas. En mi opinión, se las arregla para mantener el lenguaje sencillo y ayudas a los estudiantes a encontrar su camino señalando advertencias importantes.

Answer 5

Creo que usted está leyendo el mal libro. Por supuesto, si quieres seguir leyendo Halmos para la diversión y/o el desafío intelectual, que es genial, pero lo que estás haciendo es el equivalente de intentar aprender a conducir por la lectura de libros sobre ingeniería automotriz. Una más matemático analogía sería la de pensar en volver a los cursos que tomó en el cálculo y análisis real: el curso de cálculo fue acerca de cómo utilizar la diferenciación y la integración para resolver problemas, mientras que el curso de análisis es acerca de cómo la diferenciación y la integración del trabajo "bajo el capó".

Para el aprendizaje de máquina, será un usuario de conjuntos y usted podría hacer algún cálculo sobre los conjuntos, pero no va a hacer la investigación de lo que establece son y cuáles son los límites de lo que pueden hacer. Para sus propósitos, usted realmente no necesita saber lo que está "bajo el capó" y será totalmente suficiente para decir que un conjunto es una colección de objetos definido por algunos declaró la propiedad. Sí, de esa manera se encuentra Russell paradoja, sino de la paradoja de Russell solo sube si el uso de "raro" propiedades para definir conjuntos y usted no se va a ninguna parte así. En particular, en esencia, todos los objetos que va a venir a través de que usted puede ser que desee para describir como "conjuntos" serán subconjuntos de algo que sin duda es un conjunto, tales como los enteros. En esas áreas, la teoría de conjuntos de obras en la manera que uno espera.

El primer capítulo de cualquier libro de texto de pregrado en general, matemáticas discretas, casi seguro que contener toda la teoría que usted necesita para el aprendizaje de máquina.