Estoy tratando de demostrar que existe una vecindad abierta de la identidad en el grupo linear general complejo que no contiene ningún subgrupo apropiado. Esto es necesario para demostrar que una representación continua de un grupo profinito tiene núcleo abierto.
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Stephen
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Una sugerencia: piense primero en lo que sucede, por $\mathbf{C}^\times=\mathrm{GL}_1(\mathbf{C})$. La siguiente prueba es simplemente una adaptación de lo que creo que es lo más obvio de la ruta en ese caso.
Elija su vecindario $U$ de la identidad de consistir en matrices de $g$ con la propiedad de que el operador de la norma de $g-1$ es de menos de $1$. En particular, cualquier elemento $g \in U$ tiene los autovalores de a pie (en el plano complejo $\mathbf{C}$) menos de $1$ el número de $1$.
Ahora supongamos que usted tiene un no-trivial subgrupo contenida en $U$ y deje $g$ ser un elemento de este subgrupo. A continuación, todos los poderes de la $g$ también están contenidas en $U$; ahora sigue por nuestra elección de $U$ que los autovalores de a $g$ son todos iguales a $1$. Por lo $g$ es unipotentes; decir $g=1+n$ $n$ nilpotent. Supongamos $n \neq 0$ y elegir los vectores $v_1 \neq 0$ $v_2$ tal que $v_1 \in \mathrm{ker}(n)$ $n v_2=a v_1$ para algunos no-cero $a.$
De ello se desprende que para todos los enteros $k$ $$g^kv_2=v_2+kav_1,$$ contradiciendo $$|g^k v_2-v_2 | < |v_2|.$$
