Evaluación de

Question

Evaluación de $\displaystyle \int\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}}dx+\int\frac{\ln(1+x^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx$

$\bf{My\; Try::}$ Let$\displaystyle I = \int\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}}dx\;,$ Ahora poner$x=t^{12}\;,$ Then$dx = 12t^{11}dt$

Así que conseguimos

Así que conseguimos

Y$$I = 12\int\frac{t^{11}}{t^4+t^3}dt = 12\int \frac{t^8}{1+t}dt = 12\int\frac{(t^8-1)+1}{1+t}dt$ Ahora poner$$I = 12 \int (1+t+t^2+t^3+....+t^7)dt+12\ln |1+t|$ Tenemos$\displaystyle J = \int\frac{\ln(1+x^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx\;,$

Así que conseguimos

Ahora ¿Cómo puedo resolver Integral$x=u^6\;,$ después de eso

Se requiere ayuda

Gracias

Answer 1

Teniendo en cuenta$$A=\int \frac{u^2\ln(1+u)}{1+u}du$$ let us change variable $ 1 $ which makes $ $A=\int \frac{(x-1)^2 \log (x)}{x} dx=\int\left(x \log (x)+\frac{\log (x)}{x}-2 \log (x)\right)\,dx$ #% # ps

Answer 2

Deja$v=\ln(1+u)$ so$u=e^v-1$ y$dv=\frac{du}{1+u}$.

Así que

O

ps

$$J=6\int (e^v-1)^2 v dv$ $ Que no debería ser difícil. Divida esto en tres integrales, utilice la integración por partes para los dos primeros y la tercera es fácil.