Resuelva la ecuación diófana$y^2 = x^4 -4x^3 + 6x^2 -2x +5$, donde$x,y \in \mathbb{Z}$

Question

Resolver el diophanic ecuación de $y^2 = x^4 -4x^3 + 6x^2 -2x +5$.

Los métodos que conozco:

1) buscar el modulo p para algunos de los mejores p, cuando se utiliza este método yo casi siempre a la conclusión de que no hay soluciones, por lo que no creo es útil para el uso en este caso en particular.

2) Combinaciones de factorización y estimación: factorizar su función específica y la Búsqueda de un límite superior.

He utilizado 2), y me da un poco de apuro.

Traté de factorizar el lado derecho, pero no vendrá más a continuación:

$y^2 - 10 = (x-5)(x^3 + x^2 - x - 3)$.

No me parece una cota superior aquí..... :(.

Consejos sobre ir a la derecha en dirección o en el uso de un nuevo método de tratar de resolver este probelem?

Kees

Answer 1

Podemos suponer que$y\geq 0$. Ahora $$x^4-4x^3+6x^2-2x+5=(x-1)^4+2x+4$ $ Por lo tanto, tenemos$$ (y-(x-1)^2)(y+(x-1)^2)=2(x+2)

Esto implica que$(x-1)^2\leq (x-1)^2+y\leq 2|x|+4$ y es fácil de terminar.