Pruebalo: $\frac1{20}\le \int_{1}^{\sqrt 2} \frac{\ln x}{\ln^2x+1} dx$

Question

Me interesa demostrar la siguiente desigualdad integral:

ps

Según W | A, el resultado de esta integral no es muy agradable, e implica la integral exponencial.

Answer 1

ps

---

Editar . Podemos hacerlo más apretado con$$\begin{array}{c l} \int_1^{\sqrt2} \frac{\log x}{1+(\log x)^2}dx & =\int_0^{\frac{1}{2}\log2}\frac{u}{1+u^2}e^udu \\ & \ge\int_0^{\frac{1}{2}\log2}\frac{u}{1+u^2}du \\ & = \left[\frac{1}{2}\log(1+u^2)\right]_0^{\frac{1}{2}\log 2} \\ & =\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{(\log 2)^2}{4}\right) \\ & \approx 0.056714899 \\ & > 0.05=\frac{1}{20}. \end{array}$:

$$ \begin{array}{c l} \int_1^{\sqrt2} \frac{\log x}{1+(\log x)^2}dx & =\int_0^{\frac{1}{2}\log2}\frac{u}{1+u^2}e^udu \\ & \ge\int_0^{\frac{1}{2}\log2}\frac{u}{1+u^2}(1+u)du \\ & = \int_0^{\frac{1}{2}\log2}\left(1+\frac{u}{1+u^2}-\frac{1}{1+u^2}\right)du \\ & = \left[u+\frac{1}{2}\log(1+u^2)-\arctan u\right]_0^{\frac{1}{2}\log 2} \\ & =\frac{1}{2}\log\left(2+\frac{(\log 2)^2}{2}\right)-\arctan\left(\frac{1}{2}\log 2\right) \\ & \approx 0.06\color{Blue}{96694}. \end {array} $$

Answer 2

Es suficiente comparar el logaritmo con alguna función lineal. Tenemos:$\ln x \ge \frac{\ln 2}{2( \sqrt{2} - 1)} (x-1), \;\; x\in [1, \sqrt{2}]$ y$\ln x \le x-1, \; \; x \ge 1$ así:

ps